От модели к ответу: Какое число убрать с одной чаши, чтобы сохранить равновесие — математическая практика для 1 класса
Что означает задача. В моделях ниже одна чаша может содержать лишнюю числовую карточку. Нужно убрать одну указанную карточку так, чтобы после удаления суммы на двух чашах стали одинаковыми. Мы будем читать модель, переводить её в запись, вычислять обе суммы и только потом выбирать, что убрать.
Важно: если две чаши уже равны и все карточки положительные, удаление числа только с одной чаши нарушит равновесие. Поэтому в заданиях, где требуется убрать карточку, исходная модель специально показывает перегруз на одной стороне.
Содержание статьи6 разделов
Визуальная модель: сначала увидь чаши, потом записывай
Сумма до изменения: 12
Сумма: 9
Наблюдение. Левая сторона тяжелее на 3. Если убрать карточку 3, останется 4 + 5 = 9, то есть обе стороны станут равны.
Какие числа лежат на каждой чаше?
Найди сумму слева и справа.
Ищи на перегруженной чаше карточку, равную лишней части.
Разобранный пример 1. Слева 6, 2 и 4; справа 6 и 4. Запись: 6 + 2 + 4 и 6 + 4. Получаем 12 и 10. Лишняя часть равна 2, и карточка 2 есть слева. После удаления: 6 + 4 = 6 + 4.
Разобранный пример 2. Слева 7 и 5; справа 7, 1 и 5. Справа 13, слева 12. Убираем карточку 1 справа. Проверка: 7 + 5 = 12 и 7 + 5 = 12.
Разобранный пример 3. Слева 3, 4 и 6; справа 8 и 4. Суммы 13 и 12. На левой чаше есть карточка 1? Нет. Значит, при условии «убрать ровно одну имеющуюся карточку» эта модель не имеет решения. Такие случаи полезно замечать, а не угадывать.
Как отличить «лишнюю карточку» от общей карточки. Одинаковые числа могут встречаться на обеих чашах и при этом не быть лишними. В модели 7 + 4 + 2 и 7 + 4 общими являются 7 и 4, а лишняя часть — 2. Удаление общей 4 разрушило бы нужную структуру. Поэтому ориентируемся не на повторяющиеся числа, а на разницу сумм.
Контроль смысла. После удаления итоговая сумма перегруженной чаши должна уменьшиться ровно на значение снятой карточки. Если было 14 и сняли 3, станет 11. Если другая чаша равна 11, решение подходит. Такая короткая проверка полезна даже тогда, когда модель визуально кажется очевидной.
От модели к словесному объяснению
| № | Левая чаша | Правая чаша | Откуда убирать |
|---|---|---|---|
| 1 | 5, 2, 4 | 5, 4 | слева |
| 2 | 3, 6 | 3, 2, 6 | справа |
| 3 | 8, 1, 2 | 8, 2 | слева |
| 4 | 4, 7 | 4, 3, 7 | справа |
| 5 | 9, 5, 2 | 9, 5 | слева |
| 6 | 6, 3 | 6, 3, 4 | справа |
- Задание 1. По строке 1 назови сумму каждой чаши и число, которое нужно убрать.
- Задание 2. По строке 2 объясни словами, почему убирать нужно именно 2.
- Задание 3. По строке 3 запиши равенство, которое получится после удаления.
- Задание 4. По строке 4 найди лишнюю карточку и выполни проверку.
- Задание 5. По строке 5 сначала найди разницу сумм, затем найди такую карточку.
- Задание 6. По строке 6 найди, что убрать, и объясни, как ты понял, какая чаша тяжелее.
Математическая запись: замени картинку коротким равенством
После удаления зачеркнутой карточки удобно сразу записывать итоговое равенство. Так модель превращается в математическую фразу, которую легко проверить.
Задание 13 — объяснение.
Переход от рисунка к записи. Визуальная модель нужна не ради украшения: она показывает, что каждая карточка вносит своё число в общую сумму. Как только ребёнок уверенно читает чаши, изображение можно заменить выражением. При этом смысл остаётся тем же: сравниваем две суммы и убираем ровно ту часть, которая создаёт перегруз.
Проверка на невозможность. Если разница сумм равна 2, но на перегруженной чаше лежат только карточки 3, 5 и 7, ни одна из них не подходит для удаления. Это не ошибка ученика и не повод выбирать ближайшее число. Правильный вывод — «при данных карточках решения нет».
Задание 13 — объяснение. В модели 7 + 4 + 2 и 7 + 4 Данияр хочет убрать 4, потому что «четвёрка есть с обеих сторон». Верно ли его рассуждение? Объясни источник ошибки и предложи правильное действие.
Задание 14 — исправление готового решения. Для модели 5 + 6 и 5 + 3 + 6 ученик написал: «убрать 6 справа». Проверь и исправь запись.
Тренировка на новых данных: не всегда карточка совпадает с первым числом
- Слева 2, 9 и 4; справа 9 и 4. Какое число убрать?
- Слева 6 и 7; справа 6, 7 и 5. Какое число убрать?
- Слева 3, 8, 6; справа 3 и 8. Какое число убрать?
- Слева 10 и 2; справа 1, 10 и 2. Какое число убрать?
- Слева 4, 5 и 7; справа 5 и 7. Какое число убрать?
- Слева 8 и 3; справа 8, 3 и 2. Какое число убрать?
Почему полезна задача наоборот. Когда ученик сам создаёт перегруз, он лучше понимает связь между изменением чаши и разницей сумм. Если к уравновешенной модели добавить карточку 4 только справа, правая сумма станет больше ровно на 4. Чтобы вернуть равновесие удалением одной карточки, нужно убрать именно добавленную 4.
Задание 21. Слева 4, 6, 3; справа 4 и 6. Условие просит убрать одну карточку слева. Есть ли решение? Задание 22. Слева 5, 7, 2; справа 5 и 8. Можно ли убрать одну карточку слева и получить равенство? Не угадывай: сравни суммы и проверь наличие нужной карточки.
Задача наоборот: придумай перегруз по готовому равновесию
Теперь исходное равновесие дано заранее. Нужно добавить одну лишнюю карточку на указанную чашу так, чтобы затем именно её можно было убрать и вернуть равенство.
- Основа: 6 + 3 = 4 + 5. Добавь на левую чашу карточку 2. Какой станет сумма слева и что нужно будет убрать, чтобы вернуться к равновесию?
- Основа: 7 + 2 = 6 + 3. Добавь на правую чашу карточку 4. Запиши состояние до и после удаления.
- Придумай свою модель на сумму 10: две чаши сначала равны; затем добавь на одну чашу карточку 3. Запиши один корректный вариант.
Модель как проверяемое сообщение. Каждая чаша сообщает две вещи: какие карточки на ней лежат и какова их общая сумма. Решение считается завершённым только тогда, когда после удаления можно записать настоящее равенство. Если ученик назвал карточку, но не показал равенство после удаления, он выполнил лишь половину работы.
Полезная привычка. Не ищи нужную карточку взглядом до вычисления сумм. Иногда на перегруженной чаше лежит число, которое кажется «лишним» из-за расположения, но его значение не равно разнице. Сначала разница, затем поиск карточки — этот порядок надёжнее.
Финальный ориентир: сначала сравни суммы, затем найди разницу, после этого ищи карточку с таким значением и заверши решение проверкой равенства.
Ответы и пояснения
1. Слева 11, справа 9; убрать 2. 2. Слева 9, справа 11; лишние 2 находятся на правой чаше, после удаления обе суммы 9. 3. Убрать 1: 8 + 2 = 8 + 2 = 10. 4. Убрать 3 справа: 4 + 7 = 4 + 7 = 11. 5. 16 − 14 = 2; убрать 2 слева. 6. Справа 13, слева 9, поэтому справа тяжелее на 4; убрать 4.
7–12. 7) убрать 3; 4 + 5 = 4 + 5. 8) убрать 6 справа. 9) убрать 1; обе суммы 12. 10) убрать 2 справа. 11) убрать 3; 6 + 5 = 11 с обеих сторон. 12) убрать 1; 3 + 8 = 3 + 8.
13. Рассуждение неверно. Общая карточка 4 не является «лишней»: слева 13, справа 11, разница 2. Нужно убрать 2, после чего останется 7 + 4 = 7 + 4. 14. Слева 11, справа 14; лишняя карточка 3, а не 6. После удаления: 5 + 6 = 5 + 6.
15–20. 15) 2. 16) 5 справа. 17) 6 слева. 18) 1 справа. 19) 4 слева. 20) 2 справа.
21. Слева 13, справа 10; разница 3, карточка 3 есть слева, значит решение есть: убрать 3. 22. Слева 14, справа 13; разница 1, но карточки 1 слева нет. Удаление 2, 5 или 7 не даст 13, поэтому решения при этом условии нет.
23. После добавления 2 слева: 6 + 3 + 2 = 11, справа 9. Убрать 2 — снова 6 + 3 = 4 + 5 = 9. 24. До удаления справа 6 + 3 + 4 = 13, слева 9; убрать 4 — снова 7 + 2 = 6 + 3 = 9. 25. Возможный ответ: 4 + 6 = 7 + 3; добавить 3 слева: 4 + 6 + 3 и 7 + 3; после удаления добавленной 3 обе чаши снова равны 10.
Критерий сильного объяснения. Ученик должен назвать обе исходные суммы, определить более тяжёлую чашу, найти разницу, показать, что карточка с таким числом действительно есть на нужной чаше, и выполнить итоговую проверку. Одного слова «убрать 2» недостаточно, если задание просит объяснение.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.