Проверяем понимание: Сколько пар можно составить из двух списков по два элемента — задания для 2 класса с ответами
Кейс развивается вокруг школьной мастерской. Сначала доступны два вида основы и два значка. Затем данные меняются, поэтому после каждого изменения нужно пересчитать варианты, а не переносить старый ответ автоматически.
Содержание статьи11 разделов
Этап 1. Два цвета и два значка
Разобранный пример 1. Основа: синяя или жёлтая. Значок: круг или звезда. Перебираем по основе: синяя+круг, синяя+звезда, жёлтая+круг, жёлтая+звезда. Всего 4 пары. Проверка другим порядком: для каждого из 2 значков есть 2 цвета, снова получаем 4.
Разобранный пример 2. Если запретили жёлтую звезду, из исходных четырёх сочетаний остаются 3. Нельзя просто сказать «2 × 2», потому что одно сочетание исключено условием.
Разобранный пример 3. Если из списка цветов убрать жёлтый, остаётся 1 цвет и 2 значка: синяя+круг, синяя+звезда. Всего 2 пары.
- 1. Перечисли все четыре исходные пары.
- 2. Сколько пар содержат синюю основу?
- 3. Сколько пар содержат звезду?
- 4. Объясни, почему пар 4, а не 2.
- 5. Как проверить число пар, начав перебор не с цветов, а со значков?
Этап 2. В заказ добавили условия
Теперь мастерская принимает только пары, в которых цвет и значок выбраны по одному. Исходные списки всё ещё содержат 2 цвета и 2 значка.
| Заказ | Условие | Вопрос |
|---|---|---|
| A | Любая пара | Сколько вариантов? |
| B | Без жёлтой звезды | Сколько вариантов? |
| C | Только пары со звездой | Сколько вариантов? |
| D | Только синяя основа | Сколько вариантов? |
- 6. Ответь для заказа A и перечисли варианты.
- 7. Ответь для B и назови исключённую пару.
- 8. Ответь для C.
- 9. Ответь для D.
- 10. Сравни B и C: на сколько вариантов один заказ шире другого?
Этап 3. Проверяем готовые рассуждения
Запись Лены
«2 цвета + 2 значка = 4, значит пар четыре».
11. Результат верный, но объяснение слабое. Исправь рассуждение так, чтобы было понятно, откуда взялись 4 пары.
«2 цвета + 2 значка = 4, значит пар четыре».
11. Результат верный, но объяснение слабое. Исправь рассуждение так, чтобы было понятно, откуда взялись 4 пары.
Запись Ильи
синяя+круг, синяя+звезда, жёлтая+круг.
12. Какой вариант пропущен? Как доказать полноту списка?
синяя+круг, синяя+звезда, жёлтая+круг.
12. Какой вариант пропущен? Как доказать полноту списка?
13. Ученик записал пять пар и повторил «синяя+круг» дважды. Сколько различных пар на самом деле? Объясни, почему повтор не создаёт нового варианта.
14. Ученик считает, что «звезда+синяя» и «синяя+звезда» — разные пары. Исправь ошибку: в этой задаче первая часть пары всегда обозначает цвет, вторая — значок.
14. Ученик считает, что «звезда+синяя» и «синяя+звезда» — разные пары. Исправь ошибку: в этой задаче первая часть пары всегда обозначает цвет, вторая — значок.
Этап 4. Данные расширяются
Добавили зелёную основу, но значков по-прежнему два: круг и звезда.
- 15. Составь все пары для трёх цветов и двух значков.
- 16. Сколько стало вариантов?
- 17. На сколько вариантов больше, чем при двух цветах?
- 18. Объясни, почему добавление одного нового цвета добавило ровно два варианта.
- 19. Если запретить зелёную звезду, сколько вариантов останется?
- 20. Проверь ответ к заданию 19 двумя способами: исключением из полного списка и прямым перечислением допустимых пар.
Этап 5. Перенос: комплект для экскурсии
Для экскурсии выбирают один бейдж и один шнурок. Бейджи: красный, белый. Шнурки: короткий, длинный.
- 21. Сколько комплектов можно составить?
- 22. Перечисли их систематически.
- 23. Какой список неполон: {красный+короткий, красный+длинный, белый+длинный} или {красный+короткий, красный+длинный, белый+короткий, белый+длинный}?
- 24. Придумай собственные два списка по два элемента и перечисли все пары.
- 25. Объясни, когда полезнее таблица 2×2, а когда достаточно устного перебора.
Как не спутать пары с отдельными предметами
В комбинационной задаче считается не количество предметов в списках, а количество способов выбрать по одному элементу из каждого списка. Поэтому два цвета и два значка дают не два результата и не сумму «предметов вообще», а четыре разные пары. Полезно проговаривать результат полностью: «синий круг», а не только «синий».
Проверка без формулы
Если умножение ещё не стало привычным, достаточно аккуратного перебора. Возьми первый цвет и соедини его с обоими значками, затем второй цвет и снова с обоими значками. После этого проверь, что каждый цвет встретился ровно два раза, а каждый значок — тоже ровно два раза.
Когда условие меняется
Запрет или новое ограничение всегда применяется к уже понятному полному набору. Сначала найди все возможные пары, затем отметь недопустимые. Так проще увидеть, что именно исчезло и почему. Если сразу перечислять только разрешённое, полезно затем сверить результат с полным набором и числом исключений.
Разбор стратегий и самопроверки
Таблица 2×2 как контроль
Представь цвета строками, а значки столбцами. На каждом пересечении находится одна пара. Получаются четыре клетки. Таблица помогает одновременно увидеть полноту и отсутствие повторов: каждая клетка существует один раз, а пустая клетка сразу показывает пропуск.
Представь цвета строками, а значки столбцами. На каждом пересечении находится одна пара. Получаются четыре клетки. Таблица помогает одновременно увидеть полноту и отсутствие повторов: каждая клетка существует один раз, а пустая клетка сразу показывает пропуск.
Два порядка перебора
Первый порядок: синяя основа с обоими значками, затем жёлтая с обоими. Второй порядок: круг с обоими цветами, затем звезда с обоими. Оба должны дать один и тот же набор четырёх пар. Если наборы различаются, в одном из перечислений допущена ошибка.
Первый порядок: синяя основа с обоими значками, затем жёлтая с обоими. Второй порядок: круг с обоими цветами, затем звезда с обоими. Оба должны дать один и тот же набор четырёх пар. Если наборы различаются, в одном из перечислений допущена ошибка.
Как работать с запретом
Сначала восстанови полный набор, затем зачеркни запрещённую пару. Например, из четырёх пар запрещена жёлтая звезда — остаётся три. Проверка: в оставшемся списке нет запрещённой пары, а остальные три исходные комбинации присутствуют.
Сначала восстанови полный набор, затем зачеркни запрещённую пару. Например, из четырёх пар запрещена жёлтая звезда — остаётся три. Проверка: в оставшемся списке нет запрещённой пары, а остальные три исходные комбинации присутствуют.
Что меняется при добавлении элемента
Добавление зелёной основы не меняет количество значков. Для нового цвета появляются ровно две новые пары: зелёная+круг и зелёная+звезда. Поэтому общее число увеличивается с четырёх до шести. Такой способ рассуждения показывает причину изменения, а не только новый ответ.
Добавление зелёной основы не меняет количество значков. Для нового цвета появляются ровно две новые пары: зелёная+круг и зелёная+звезда. Поэтому общее число увеличивается с четырёх до шести. Такой способ рассуждения показывает причину изменения, а не только новый ответ.
Повторы и количество строк
Пять записей не означают пять вариантов. Если одна пара повторена, различающихся комбинаций меньше. Сначала отмечай одинаковые пары, затем сравнивай оставшийся набор с таблицей. Повтор особенно опасен тем, что визуально создаёт ощущение полного списка.
Пять записей не означают пять вариантов. Если одна пара повторена, различающихся комбинаций меньше. Сначала отмечай одинаковые пары, затем сравнивай оставшийся набор с таблицей. Повтор особенно опасен тем, что визуально создаёт ощущение полного списка.
Фиксированный порядок записи
В этой теме удобно всегда писать сначала элемент первого списка, затем второго: цвет+значок, бейдж+шнурок. Тогда «синяя+звезда» и «звезда+синяя» не выглядят как разные результаты. Фиксированный порядок уменьшает число случайных дублей.
В этой теме удобно всегда писать сначала элемент первого списка, затем второго: цвет+значок, бейдж+шнурок. Тогда «синяя+звезда» и «звезда+синяя» не выглядят как разные результаты. Фиксированный порядок уменьшает число случайных дублей.
Как проверить открытый пример
Если ученик придумал свои два списка по два элемента, проверка та же: названия внутри каждого списка различаются; из каждой первой позиции образовано по две пары; всего четыре уникальные пары; ни одна не использует два элемента из одного и того же списка.
Если ученик придумал свои два списка по два элемента, проверка та же: названия внутри каждого списка различаются; из каждой первой позиции образовано по две пары; всего четыре уникальные пары; ни одна не использует два элемента из одного и того же списка.
Короткий алгоритм
Назови два списка → выбери первый элемент первого списка → соедини с обоими элементами второго → повтори со вторым элементом первого списка → проверь четыре уникальные пары другим порядком. Этот алгоритм работает без специальной формулы.
Назови два списка → выбери первый элемент первого списка → соедини с обоими элементами второго → повтори со вторым элементом первого списка → проверь четыре уникальные пары другим порядком. Этот алгоритм работает без специальной формулы.
Мини-проверка
Проверь себя без нового счёта. В полном случае должно быть четыре разные пары; каждый элемент первого списка встречается дважды, каждый элемент второго списка тоже дважды. При одном запрете остаётся три допустимые пары. Если эти признаки не сходятся, вернись к систематическому перечню.
Ответы и пояснения
1) синяя+круг, синяя+звезда, жёлтая+круг, жёлтая+звезда. 2) 2. 3) 2. 4) Каждый из двух цветов соединяется с каждым из двух значков, поэтому получаются 2+2=4 пары. 5) Для круга перечислить два цвета, затем для звезды два цвета — снова четыре.
6) 4 варианта. 7) 3, исключена жёлтая+звезда. 8) 2. 9) 2. 10) B шире C на 1 вариант. 11) Сильное объяснение: «Для синего есть два значка и для жёлтого тоже два, значит 2+2=4». 12) Пропущена жёлтая+звезда; полноту показывает таблица 2×2 или перебор по одному цвету за раз.
13) 4 различных пары. Повтор уже существующей пары не создаёт новую. 14) Это одна и та же комбинация данных, записывать части пары нужно в фиксированном порядке «цвет+значок». 15) синяя+круг, синяя+звезда, жёлтая+круг, жёлтая+звезда, зелёная+круг, зелёная+звезда. 16) 6. 17) На 2. 18) Новый цвет можно соединить с каждым из двух значков. 19) 5. 20) Из 6 исключаем одну или перечисляем 5 допустимых напрямую.
21) 4. 22) красный+короткий, красный+длинный, белый+короткий, белый+длинный. 23) Неполон первый список: нет белого+короткого. 24) Ответ зависит от примера; при двух различных элементах в каждом списке должно быть 4 пары. 25) Сильный ответ: таблица удобна, когда важно показать полноту и не повторяться; устный перебор подходит для маленького набора, если порядок перечисления очевиден.
Критерий сильного объяснения. Ученик называет оба исходных списка, показывает систематический порядок перебора, не считает повторы как новые варианты и объясняет, почему после последнего элемента новых пар не остаётся. Для сложных номеров проверка выполняется вторым порядком перебора.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.