Дерево вариантов для трёх последовательных решений «да–нет»: пошаговая практика, типичные ошибки и ответы — 3 класс
Диагностика3 шагада / нетДерево вариантов помогает не угадывать, а перечислять результаты по порядку. Если на каждом из трёх последовательных шагов есть ровно два ответа — «да» или «нет», то каждый полный путь содержит три решения. В работе важно не только получить восемь путей, но и доказать, что ни один не пропущен и ни один не записан дважды.
Содержание статьи7 разделов
Стартовый маршрут: видишь ли ты все ветви
1. Сколько вариантов есть на одном шаге, если можно ответить только «да» или «нет»?
2. Запиши все полные пути для двух шагов: ДД, ДН, НД, НН. Сколько их?
3. У пути ДНД сколько последовательных решений? Назови их по порядку словами.
4. Какой путь начинается с «нет», затем содержит «да», затем снова «нет»?
5. Верно ли, что ДДН и ДНД — один и тот же путь? Коротко объясни.
6. Если на третьем шаге у каждого уже построенного пути снова две ветви, во сколько раз увеличится число путей?
Отметь для себя одну метку. Если трудно в заданиях 4–6, при дальнейшей работе проговаривай каждый путь слева направо и считай только законченные ветви третьего уровня.
Где теряются варианты и откуда берутся повторы
Разобранный пример 1. Для двух решений дерево начинается с одного старта. После первого шага получаем Д и Н. От каждой из этих ветвей снова выходят Д и Н: ДД, ДН, НД, НН. Всего 4 пути. Запись ДД два раза не создаёт нового варианта.
Разобранный пример 2. Для трёх шагов удобно сначала взять четыре двухшаговых пути и к каждому приписать в конце Д и Н: ДДД, ДДН, ДНД, ДНН, НДД, НДН, ННД, ННН. Получено 8 разных путей.
Разобранный пример 3. Второй способ проверки — считать ветвление: после первого шага 2 пути, после второго каждый раздваивается и становится 4, после третьего снова удваивается и становится 8. Перечень и подсчёт по уровням дают один ответ.
7. Ученик записал: ДДД, ДДН, ДНД, ДНН, НДД, ННД, ННН. Какой путь пропущен?
8. В списке ДДД, ДДН, ДНД, ДНД, ДНН, НДД, НДН, ННД, ННН найди повтор. Сколько разных путей останется после исправления?
9. Объясни, почему список из 7 разных путей не может быть полным для трёх шагов «да–нет».
Серия «От дерева к записи»: дострой и упорядочь
Серия «Сюжет вместо букв»: три последовательных выбора
Робот проходит три пункта. На каждом пункте он отвечает на вопрос и выбирает направление: Д — «да, иду по зелёной стрелке», Н — «нет, иду по серой стрелке». Порядок решений важен.
- 16. Запиши путь робота, если решения были: да, нет, да.
- 17. Какой путь соответствует решениям: нет, нет, да?
- 18. Сколько маршрутов начинаются с ответа «да»? Объясни ход рассуждения, не ограничиваясь числом.
- 19. Сколько маршрутов заканчиваются ответом «нет»? Проверь ответ перечислением.
- 20. Робот прошёл путь НДН. Можно ли переставить решения и считать ННД тем же маршрутом? Объясни, почему порядок важен.
- 21. Из полного списка убрали все маршруты, начинающиеся с Д. Сколько маршрутов осталось и какие?
Полезная проверка: фиксированный первый ответ оставляет два свободных шага. На каждом из них по два выбора, поэтому внутри ветви «первое Д» должно быть 4 законченных пути. То же верно для ветви «первое Н». Вместе 4 + 4 = 8.
Большое рассуждение: исправь готовое решение
22. Ученик рассуждал так: «На каждом из трёх шагов по два решения, значит 2 + 2 + 2 = 6 маршрутов». Найди источник ошибки, построй правильный счёт по уровням и назови итоговое число путей.
23. Другой ученик записал 8 строк, но две одинаковые: ДДД, ДДН, ДНД, ДНН, НДД, НДН, НДН, ННН. Как проверить, что проблема не только в повторе, но и в пропуске? Назови пропущенный путь.
24. Сформулируй сильное объяснение для утверждения «полных путей восемь». В объяснении должны быть: три шага, два варианта на каждом шаге и способ контроля полноты.
Проверь себя: короткая контрольная точка
25. Без подсказки перечисли все 8 путей в системном порядке: сначала начинающиеся с Д, затем начинающиеся с Н.
26. Какой путь пропущен: ДДД, ДДН, ДНД, ДНН, НДД, НДН, ННН?
Критерии самопроверки: я различаю путь и отдельную ветвь; сохраняю порядок трёх решений; не считаю повтор новым вариантом; умею проверить перечень подсчётом 2 → 4 → 8.
Ответы и пояснения к диагностике
- 1. 2 варианта.
- 2. 4 пути: ДД, ДН, НД, НН.
- 3. Три решения: да → нет → да.
- 4. НДН.
- 5. Нет: во втором и третьем шагах решения стоят в разном порядке.
- 6. В 2 раза.
- 7. НДН.
- 8. Повтор ДНД; после удаления повтора остаётся 8 разных путей.
- 9. Полное дерево имеет 2 пути после первого шага, 4 после второго и 8 после третьего, поэтому 7 недостаточно.
- 10. ДДД и ДДН.
- 11. ННД и ННН.
- 12. ДДД, ДДН, ДНД, ДНН.
- 13. ДДН, ДНН, НДН, ННН.
- 14. 3 пути: ДДН, ДНД, НДД.
- 15. 2 пути: ДДД и ННН.
- 16. ДНД.
- 17. ННД.
- 18. 4 маршрута: после фиксированного первого Д остаются два шага по два выбора; ДДД, ДДН, ДНД, ДНН.
- 19. 4 маршрута: ДДН, ДНН, НДН, ННН.
- 20. Нет. Порядок решений задаёт последовательность ветвей, поэтому НДН и ННД — разные маршруты.
- 21. 4: НДД, НДН, ННД, ННН.
- 22. Складывать варианты разных шагов нельзя: каждый уже полученный путь снова раздваивается. 2 → 4 → 8, итог 8.
- 23. После удаления повторного НДН остаётся 7 строк; сравнение с полным перечнем показывает пропуск ННД.
- 24. Сильное объяснение: «На первом шаге 2 ветви. Каждая ветвь на втором шаге делится ещё на 2, получаем 4. На третьем каждая из 4 снова делится на 2, получаем 8. Перечень из восьми разных трёхбуквенных путей подтверждает полноту».
- 25. ДДД, ДДН, ДНД, ДНН, НДД, НДН, ННД, ННН.
- 26. ННД.
Критерий сильного объяснения: ученик называет, что ветвление происходит последовательно, показывает хотя бы один способ контроля (полное перечисление или счёт уровней 2 → 4 → 8) и объясняет, почему повтор не увеличивает число вариантов.
Если перечень получился без пропусков, попробуй второй способ проверки, даже если первый уже дал ответ. В комбинаторных задачах два независимых способа особенно полезны: дерево показывает структуру, а системная запись путей помогает заметить повтор или пропуск.
Дополнительная памятка для самопроверки. Не пытайся вспоминать восемь путей как стихотворение. Лучше воспроизводи правило: сначала два пути первого шага, затем два продолжения у каждого, затем ещё два окончания у каждого двухшагового начала. Такой способ можно восстановить даже после перерыва. Если список строится по порядку, то после ДД должны идти ДДД и ДДН, после ДН — ДНД и ДНН, затем аналогично для начала Н. Так становится заметно, где именно возник разрыв.
При объяснении отделяй число решений на одном шаге от числа полных путей. Два ответа на каждом шаге не означают шесть путей. Каждый новый выбор соединяется с каждым уже построенным началом. Поэтому число полных путей растёт последовательным удвоением. Эта мысль пригодится и в задачах с кодами, маршрутами, выбором формы и цвета.
Ещё одна проверка. Дополнительная памятка для самопроверки. Не пытайся вспоминать восемь путей как стихотворение. Лучше воспроизводи правило: сначала два пути первого шага, затем два продолжения у каждого, затем ещё два окончания у каждого двухшагового начала. Такой способ можно восстановить даже после перерыва. Если список строится по порядку, то после ДД должны идти ДДД и ДДН, после ДН — ДНД и ДНН, затем аналогично для начала Н. Так становится заметно, где именно возник разрыв.
При объяснении отделяй число решений на одном шаге от числа полных путей. Два ответа на каждом шаге не означают шесть путей. Каждый новый выбор соединяется с каждым уже построенным началом. Поэтому число полных путей растёт последовательным удвоением. Эта мысль пригодится и в задачах с кодами, маршрутами, выбором формы и цвета.
Ещё одна проверка. Ещё одна проверка. Дополнительная памятка для самопроверки. Не пытайся вспоминать восемь путей как стихотворение. Лучше воспроизводи правило: сначала два пути первого шага, затем два продолжения у каждого, затем ещё два окончания у каждого двухшагового начала. Такой способ можно восстановить даже после перерыва. Если список строится по порядку, то после ДД должны идти ДДД и ДДН, после ДН — ДНД и ДНН, затем аналогично для начала Н. Так становится заметно, где именно возник разрыв.
При объяснении отделяй число решений на одном шаге от числа полных путей. Два ответа на каждом шаге не означают шесть путей. Каждый новый выбор соединяется с каждым уже построенным началом. Поэтому число полных путей растёт последовательным удвоением. Эта мысль пригодится и в задачах с кодами, маршрутами, выбором формы и цвета.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.