Проверка полного списка комбинаций по дереву: математическая практика от простого к сложному для 3 класса

Дерево A: футболка + брюки

Футболка К ─┬─ брюки 1
            └─ брюки 2
Футболка С ─┬─ брюки 1
            └─ брюки 2
Футболка З ─┬─ брюки 1
            └─ брюки 2

Ожидается 6 конечных комбинаций.

Проверяем первый полный список

1. Сколько конечных комбинаций должно быть в дереве A?
2. Список A1: К1, К2, С1, С2, З1, З2. Полный ли он?
3. Список A2: К1, К2, С1, С2, З1, З1. Какой повтор есть?
4. Какой комбинации не хватает в списке A2?
5. Сколько разных комбинаций содержит A2?
6. Список A3: К1, К2, С1, С2, З1, З2, З2. Почему 7 строк не означают 7 вариантов?

Списки с правильной и неправильной длиной

7. Дерево B: 2 супа и 3 вторых блюда. Сколько конечных ветвей?
8. Список B1 содержит все 6 допустимых комбинаций и ещё одну повторную строку. Сколько строк в списке и сколько разных комбинаций?
9. Список B2 содержит ровно 6 строк, но одна пара повторена. Может ли B2 быть полным? Объясни.
10. В B2 после удаления повтора осталось 5 разных пар. Сколько допустимых пар пропущено?
11. Если в дереве B удалить одно второе блюдо целиком, сколько комбинаций останется?
12. Если удалить одну конкретную конечную ветвь, но остальные сохранить, сколько комбинаций останется?

Проверяем маршруты по группам ветвей

13. Дерево C: 3 первых маршрута, у каждого по 2 продолжения. Сколько полных маршрутов?
14. Список C1: А1, А2, Б1, Б2, В1. Что можно сказать?
15. Какой маршрут нужно добавить к C1, чтобы список стал полным?
16. Список C2: А1, А2, Б1, Б2, В1, В2. Как быстро проверить его полноту по группам?
17. Список C3 имеет 6 строк: А1, А2, Б1, Б1, В1, В2. Назови две ошибки списка.
18. После исправления C3 сколько разных маршрутов должно быть?

Доказываем полноту списка

19. Ученик говорит: «В дереве 6 ветвей, в моём списке 6 строк, значит всё верно». Почему этого недостаточно?
20. Приведи пример списка из 6 строк для дерева A, который имеет правильную длину, но не является полным.
21. В полном дереве 8 конечных ветвей. После удаления повторов из списка осталось 7 разных комбинаций. Сколько минимум комбинаций пропущено?
22. В полном дереве 12 ветвей, список содержит 14 строк, из которых 2 строки являются повторениями уже имеющихся комбинаций. Если остальные 12 уникальны и допустимы, полный ли набор уникальных комбинаций?
23. Что нужно проверять раньше: наличие повторов или соответствие каждой ветви? Можно ли надёжно ограничиться только одним из этих шагов?
24. Сформулируй признак полного списка комбинаций.

Практика и итоговая самопроверка

25. В конструкторе открыток 2 формы и 4 цвета. Полный список должен содержать сколько комбинаций?
26. В списке открыток 8 строк, но одна комбинация повторена. Сколько максимум разных комбинаций в списке?
27. Чтобы список из задания 26 стал полным, сколько минимум недостающих разных комбинаций нужно добавить после удаления повтора?
28. Для меню из 3 напитков и 2 десертов ученик записал 5 разных пар. Сколько пар не хватает до полного списка?
29. Самопроверка: дерево имеет первые ветви А, Б, В, а у каждой продолжения 1, 2, 3. Сколько комбинаций и как сгруппировать полный список?
30. Объясни родителю одним-двумя предложениями, как отличить полный список комбинаций от списка, в котором просто «много строк».

Ответы и пояснения

1. 6: три первые ветви по два продолжения.
2. Да. Есть все шесть допустимых пар и повторов нет.
3. З1.
4. З2.
5. 5 разных комбинаций.
6. Потому что З2 записана дважды; повторная строка не создаёт новый вариант.
7. 6: 2×3=6.
8. 7 строк и 6 разных комбинаций.
9. Нет. При 6 строках один повтор означает, что уникальных комбинаций только 5, поэтому как минимум одна допустимая пара отсутствует.
10. 1 допустимая пара.
11. 4: 2×2=4.
12. 5.
13. 6: 3×2=6.
14. Список неполный: в нём 5 разных маршрутов вместо 6.
15. В2.
16. Сгруппировать по первой букве: А1, А2; Б1, Б2; В1, В2. В каждой из трёх групп должно быть по два продолжения.
17. Б1 повторён, а Б2 отсутствует.
18. 6.
19. Шесть строк могут включать повтор и одновременно пропуск. Нужно проверить уникальность и соответствие каждой конечной ветви.
20. Например: К1, К2, С1, С2, З1, З1. Строк шесть, но З1 повторена и З2 пропущена.
21. Минимум 1.
22. Да. 14 строк минус 2 повторные записи дают 12 уникальных допустимых комбинаций — ровно столько, сколько ветвей. При условии, что они соответствуют всем 12 различным ветвям, набор полный.
23. Нужны оба шага; порядок может быть удобным любой, но ни один по отдельности не гарантирует полноту. Повторы могут скрывать пропуски, а отсутствие повторов не доказывает, что записаны все ветви.
24. Сильный ответ: список полный, если каждая допустимая конечная ветвь дерева представлена ровно одной строкой, запрещённых или лишних строк нет, а число уникальных комбинаций совпадает с числом конечных ветвей.
25. 8: 2×4=8.
26. Не более 7 разных.
27. Минимум 1: после удаления повтора максимум останется 7 уникальных, а нужно 8.
28. 1: полный набор 3×2=6, записано 5 разных.
29. 9 комбинаций. Группировка: А1, А2, А3; Б1, Б2, Б3; В1, В2, В3.
30. Полный список не просто имеет нужную длину: он содержит каждую допустимую ветвь ровно один раз. Поэтому нужно проверить и повторы, и пропуски по самому дереву.

Как работать с карточкой

Для быстрой проверки родителю удобно сначала посчитать уникальные строки, затем поставить галочку напротив каждой конечной ветви дерева. Если у каждой ветви ровно одна галочка, список полный; если галочек две или нет ни одной — найден повтор или пропуск.