Карточки на понимание «Два способа разбиения сложной прямолинейной фигуры для вычисления площади» — математика для 4 класса
Цель практикума. Одна и та же Г-образная фигура может быть разбита на прямоугольники по-разному. Если оба разбиения верны, суммы площадей должны совпасть. Сравнение двух способов — мощная самопроверка.
Содержание статьи7 разделовПоказатьСкрыть
Подготовка к центральной задаче: два способа на одной модели
Способ A — вертикальное разбиение.
Левая часть: 7 см × 9 см = 63 см². Правая нижняя: 5 см × 5 см = 25 см². Сумма 88 см².
Способ B — горизонтальное разбиение.
Нижняя часть: 12 см × 5 см = 60 см². Верхняя левая: 7 см × 4 см = 28 см². Сумма снова 88 см².
Что сравниваем. Не обязательно, чтобы отдельные прямоугольники в двух способах имели одинаковые площади. Обязано совпасть только покрытие всей фигуры без пропусков и наложений — и, следовательно, общий результат.
Разогрев: восстанови недостающие размеры для разбиения
1. Внешняя ширина 16 см, вырез справа имеет ширину 6 см. Какова ширина левой вертикальной части?
2. Высота фигуры 11 см, высота верхнего выреза 5 см. Какова высота нижней горизонтальной части?
3. Для модели 20 дм × 14 дм с вырезом 8 дм × 6 дм назови размеры двух прямоугольников при вертикальном способе.
4. Для той же модели назови размеры двух прямоугольников при горизонтальном способе.
5. Объясни, почему в обоих способах нельзя включать область выреза.
Практика до центральной задачи: реши двумя разбиениями
6. Г-образная фигура получается из прямоугольника 16 см × 11 см после удаления верхнего правого угла 6 см × 5 см. Найди площадь двумя разбиениями и сравни результаты.
7. Г-образная фигура получается из прямоугольника 20 дм × 14 дм после удаления верхнего правого угла 8 дм × 6 дм. Найди площадь двумя разбиениями и сравни результаты.
8. Г-образная фигура получается из прямоугольника 18 см × 13 см после удаления верхнего правого угла 7 см × 4 см. Найди площадь двумя разбиениями и сравни результаты.
9. В модели 16 см × 11 см с вырезом 6 см × 5 см ученик по вертикали получил 10×11 + 6×6. Другой ученик по горизонтали записал 16×6 + 10×5. Проверь, совпадают ли результаты и почему.
10. Придумай короткий критерий, по которому можно понять, что разбиение составной фигуры корректно ещё до вычисления площадей.
Центральная составная задача: план площадки
24 м × 15 м
вырез 9 м × 5 м
Условие.
Площадка имеет форму прямоугольника 24 м × 15 м, но верхний правый угол размером 9 м × 5 м не относится к площадке. Найди площадь площадки двумя разбиениями, затем третьим способом — как разность площадей. Все три результата должны совпасть.
11. Способ 1: разбей фигуру вертикально. Запиши размеры двух прямоугольников и найди сумму площадей.
12. Способ 2: разбей фигуру горизонтально. Запиши размеры двух прямоугольников и найди сумму площадей.
13. Способ 3: вычисли площадь как 24×15−9×5. Сравни три ответа.
14. Какой из трёх способов содержит меньше вычислительных шагов именно для этих чисел? Объясни выбор, не меняя математический результат.
После центральной задачи: перенос и альтернативное решение
15. Модель 24 см × 15 см, вырез 9 см × 5 см. Вычисли площадь любым разбиением, затем проверь другим способом.
16. Модель 30 дм × 20 дм, вырез 12 дм × 8 дм. Вычисли площадь любым разбиением, затем проверь другим способом.
17. Модель 21 см × 16 см, вырез 7 см × 6 см. Вычисли площадь любым разбиением, затем проверь другим способом.
18. Модель 28 м × 18 м, вырез 10 м × 7 м. Вычисли площадь любым разбиением, затем проверь другим способом.
19. Найди ошибку: для модели 21 см × 16 см с вырезом 7 см × 6 см записано вертикальное разбиение 14×16 + 7×10 = 304 см². Проверь сумму и общий результат.
20. Открытый ответ: объясни, почему два корректных разбиения одной и той же фигуры обязаны давать одинаковую площадь, даже если части имеют разные размеры.
Мини-проверка и рабочий чек-лист
21. Мини-проверка: фигура 14 см × 10 см с вырезом 4 см × 3 см. Найди площадь вертикальным и горизонтальным разбиениями.
22. Проверка рассуждения: если два способа дали 128 см² и 132 см², что нужно делать — выбирать «более похожий» ответ или искать ошибку? Объясни.
Чек-лист разбиения.
части вместе закрывают всю исходную фигуру;
части не перекрываются;
область выреза не включена;
недостающие размеры найдены вычитанием соответствующих длин;
второй способ даёт тот же итог.
Вертикальное разбиение.
При вертикальном способе удобно сначала найти ширину полной левой части как «общая ширина − ширина выреза». Справа остаётся нижний прямоугольник; его высота равна «общая высота − высота выреза». После этого две площади складываются.
Горизонтальное разбиение.
Здесь сначала берётся полный нижний прямоугольник высотой «общая высота − высота выреза». Сверху остаётся левый прямоугольник шириной «общая ширина − ширина выреза». Это другой набор частей, но он покрывает ту же область.
Почему результаты должны совпасть.
Линия разреза меняет только способ группировки квадратных единиц, а не саму область фигуры. Поэтому два корректных разбиения дают одинаковую сумму площадей. Разные результаты — сигнал проверить размеры или арифметику, а не выбирать более симпатичное число.
Третий контрольный способ.
Если фигура получена удалением прямоугольного угла из большого прямоугольника, можно дополнительно использовать разность площадей. Совпадение двух разбиений и способа «целое минус вырез» создаёт особенно надёжную тройную проверку.
Как сравнить удобство.
Математическая верность не зависит от длины решения. Но для самопроверки полезно заметить, где меньше действий или проще произведения. Один способ можно выбрать основным, а второй оставить короткой независимой проверкой.
Проверка восстановленных размеров.
Перед вычислением площади сложи части соответствующей стороны: ширина левой части плюс ширина выреза должна дать полную ширину, а высота нижней части плюс высота выреза — полную высоту. Эта короткая проверка часто обнаруживает ошибку раньше, чем сравнение площадей.
Если числа крупные.
Можно выбрать разбиение, в котором произведения проще считать устно, а второй способ использовать только для контроля. Например, множители 20 и 10 удобнее, чем 17 и 13. Но изменение способа не меняет саму площадь и не позволяет пропускать проверку покрытия.
Ответы и проверочные ходы
1. 16−6=10 см.
2. 11−5=6 см.
3. Вертикально: левая часть 12 дм × 14 дм, правая нижняя 8 дм × 8 дм.
4. Горизонтально: нижняя часть 20 дм × 8 дм, верхняя левая 12 дм × 6 дм.
5. Потому что вырез не принадлежит фигуре. Если включить его, будет посчитана лишняя площадь.
13. 24×15−9×5 = 360−45 = 315 м². Все три способа совпали.
14. Для этих чисел короче способ разности: два умножения и одно вычитание. Но любой из трёх способов математически верен при корректной модели.
15.315 см². Например, разность: 24×15−9×5=360−45=315. Проверка вертикальным разбиением: 15×15+9×10=315.
16.504 дм². Например, разность: 30×20−12×8=600−96=504. Проверка вертикальным разбиением: 18×20+12×12=504.
17.294 см². Например, разность: 21×16−7×6=336−42=294. Проверка вертикальным разбиением: 14×16+7×10=294.
18.434 м². Например, разность: 28×18−10×7=504−70=434. Проверка вертикальным разбиением: 18×18+10×11=434.
19. 14×16=224, 7×10=70, сумма 294 см², а не 304. Проверка разностью: 21×16−7×6=336−42=294.
20. Площадь зависит от самой области, а не от линии разреза. Если оба набора прямоугольников без наложений и пропусков покрывают одну и ту же область, суммы площадей равны.
22. Нужно искать ошибку. У одной фигуры одна площадь; разные результаты означают неверный размер, пропуск, наложение или арифметическую ошибку.
Итог практикума. Второе разбиение — не лишняя работа, а независимая геометрическая проверка. Особенно полезно сравнивать два метода там, где один из размеров приходится восстанавливать вычитанием.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.
