Математическая карточка для 4 класса: Контрпример: как опровергнуть неверное математическое утверждение

1. Простые числовые контрпримеры

1. Утверждение: «Каждое чётное число больше 10 оканчивается цифрой 0». Опровергни одним контрпримером.
2. «Сумма двух нечётных чисел всегда нечётна». Найди контрпример.
3. «Любое число, которое делится на 2, делится и на 4». Найди контрпример.
4. «Все числа, оканчивающиеся цифрой 5, чётные». Найди контрпример.
5. «Если сумма двух чисел равна 10, то оба числа делятся на 10». Опровергни.
6. «Произведение двух натуральных чисел всегда больше каждого множителя». Найди контрпример.

2. Геометрические утверждения

7. «У прямоугольников с одинаковым периметром обязательно одинаковые длина и ширина». Дай два разных прямоугольника как контрпример.
8. «Если два прямоугольника имеют одинаковую площадь, то у них одинаковый периметр». Найди контрпример с целыми длинами сторон.
9. «Каждый четырёхугольник имеет четыре прямых угла». Назови знакомую фигуру-контрпример и кратко объясни.
10. «Если два отрезка на маленьком рисунке не пересекаются, то они обязательно параллельны». Объясни, почему это неверно, и опиши контрпример.
11. «Периметр квадрата со стороной 6 см равен 18 см». Является ли это общим утверждением или просто ошибочным вычислением? Исправь его.
12. «Если сторона квадрата увеличилась с 3 см до 4 см, его периметр увеличился только на 1 см». Опровергни вычислением.

3. Где контрпример не нужен: верные правила

13. «Сумма двух чётных чисел чётна». Можно ли опровергнуть это утверждение одним примером? Проверь на нескольких случаях и сформулируй вывод.
14. «При умножении натурального числа на 1 оно не меняется». Верно ли утверждение?
15. «Любое число, кратное 10, оканчивается цифрой 0». Верно ли это для натуральных чисел?
16. «Если число делится на 4 без остатка, то оно чётное». Верно ли?
17. «Если к двум числам прибавить одно и то же число, большее из них останется большим». Верно ли? Покажи на примере.
18. «Произведение любого целого неотрицательного числа на 0 равно 0». Верно ли?

4. Проверь качество контрпримера

19. Ученик пытается опровергнуть «все числа, кратные 5, оканчиваются 0 или 5» примером 35. Подходит ли 35 как контрпример? Кратко объясни.
20. Утверждение: «разность двух нечётных чисел всегда нечётна». Ученик привёл 9 − 3 = 6. Достаточно ли этого для опровержения?
21. Утверждение: «если число больше 100, то оно трёхзначное». Подбери контрпример.
22. Утверждение: «частное всегда меньше делимого». Подбери контрпример с делением без остатка.
23. Утверждение: «если один прямоугольник имеет больший периметр, то у него обязательно больше площадь». Сравни прямоугольники 1 × 10 и 5 × 5.
24. Утверждение: «если число оканчивается цифрой 2, оно делится на 4». Подбери контрпример и объясни, что именно он доказывает.

5. Самопроверка

25. Самопроверка: «сумма двух чисел, кратных 10, кратна 10». Верно или нужен контрпример?
26. Самопроверка: «все нечётные числа оканчиваются 1, 3, 5, 7 или 9». Верно ли для натуральных чисел?
27. Самопроверка: «если число делится на 6, оно обязательно делится на 3». Верно ли?
28. Самопроверка: «у любой фигуры с четырьмя сторонами противоположные стороны равны». Верно ли? Если нет, дай контрпример.
29. Самопроверка: «1000 — самое маленькое четырёхзначное натуральное число». Верно ли?
30. Самопроверка: «если произведение двух натуральных чисел чётно, оба множителя обязательно чётные». Найди контрпример.

Ответы и пояснения

1. 12 — чётное число больше 10, но оно оканчивается цифрой 2. Одного такого примера достаточно, чтобы опровергнуть слово «каждое».
2. 3 + 5 = 8. Оба слагаемых нечётные, а сумма чётная.
3. 6 делится на 2, но не делится на 4 без остатка.
4. 15 оканчивается цифрой 5 и является нечётным.
5. 3 + 7 = 10, но ни 3, ни 7 не делятся на 10.
6. 7 · 1 = 7. Произведение не больше первого множителя, поэтому утверждение со словом «всегда» неверно.
7. Например, прямоугольники 2 × 6 и 3 × 5. Их периметры одинаковы: 2 · (2 + 6) = 16 и 2 · (3 + 5) = 16, но стороны различны.
8. Прямоугольники 2 × 6 и 3 × 4 имеют площадь 12, но периметры 16 и 14. Значит, одинаковая площадь не гарантирует одинаковый периметр.
9. Например, трапеция: у неё четыре стороны, но не обязаны быть четыре прямых угла. Критерий: назван реальный четырёхугольник и указано, чем он нарушает утверждение.
10. Два непараллельных отрезка можно нарисовать короткими так, что на видимой части они не пересекутся, но их продолжения встретятся. Значит, одного факта «не пересекаются на рисунке» недостаточно.
11. Это конкретная вычислительная ошибка. Правильно: 6 · 4 = 24 см. Чтобы опровергать общее утверждение контрпримером, в нём обычно есть слова «все», «всегда», «любой».
12. Периметры: 3 · 4 = 12 см и 4 · 4 = 16 см. Увеличение равно 4 см, а не 1 см.
13. Утверждение верно. Например, 2 + 4 = 6, 8 + 10 = 18. Контрпример не находится потому, что сумма двух чисел вида «по 2» снова делится на 2. Один подтверждающий пример сам по себе не является доказательством, но правило обосновывается разложением на пары.
14. Верно: n · 1 = n. Умножение на 1 означает взять одну такую величину.
15. Верно для натуральных чисел в десятичной записи: кратные 10 состоят из целого числа десятков и имеют 0 в разряде единиц.
16. Верно. Если число делится на 4, оно содержит целое число групп по 4, а каждая группа по 4 состоит из двух пар, значит число чётное.
17. Верно. Например, 9 > 6; после прибавления 4 получаем 13 > 10. Одинаковое увеличение не меняет разность между числами.
18. Верно: сколько бы групп по 0 ни было, предметов остаётся 0; например, 7 · 0 = 0.
19. Нет. 35 оканчивается цифрой 5 и как раз подтверждает утверждение. Сильное объяснение: контрпример обязан удовлетворять условию «кратно 5», но нарушать вывод «оканчивается 0 или 5».
20. Да. 9 и 3 нечётные, но их разность 6 чётная. Одного контрпримера достаточно.
21. 1000. Оно больше 100, но четырёхзначное, а не трёхзначное.
22. Например, 8 : 1 = 8. Частное не меньше делимого.
23. 1 × 10: периметр 22, площадь 10. 5 × 5: периметр 20, площадь 25. У первой фигуры периметр больше, а площадь меньше — это контрпример.
24. 22 оканчивается цифрой 2, но 22 : 4 даёт остаток 2. Сильное объяснение: число удовлетворяет условию утверждения, но не удовлетворяет его выводу, поэтому правило «все такие числа делятся на 4» опровергнуто.
25. Верно: 20 + 30 = 50; в общем виде десятки складываются в десятки. Контрпример не требуется.
26. Верно: в десятичной записи нечётное число не может оканчиваться чётной цифрой.
27. Верно. 6 = 2 · 3, поэтому любое целое число групп по 6 содержит и целое число групп по 3.
28. Неверно. Например, у обычной трапеции противоположные боковые стороны могут иметь разную длину.
29. Верно: четырёхзначные натуральные числа начинаются с 1000, потому что 999 ещё трёхзначное.
30. 2 · 3 = 6. Произведение чётное, но множитель 3 нечётный. Значит, достаточно, чтобы хотя бы один множитель был чётным; оба быть чётными не обязаны.

Как работать с карточкой

Просите ученика подчёркивать слова «все», «всегда», «любой». Затем проверять два пункта: контрпример подходит под условие и одновременно нарушает вывод. Если хотя бы один пункт не выполнен, пример не опровергает утверждение.