Тема «Проверка утверждений о простых и составных числах»: объяснение, практика и ответы — 4 класс
Эта карточка посвящена проверке утверждений о простых и составных числах в 4 классе. Здесь мало просто поставить «верно» или «неверно»: ученик должен уметь предъявить делитель, контрпример, пару множителей или объяснить, почему проверка достаточна.
Как доказывать. Чтобы подтвердить составность, достаточно найти нетривиальный делитель или пару множителей больше 1. Чтобы подтвердить простоту, нужно убедиться, что возможных нетривиальных делителей нет. Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно одного корректного контрпримера.
Содержание статьи7 разделов
Блок 1. Проверяем утверждения по определению
- Верно ли: «2 — простое число»?
- Верно ли: «9 — простое число»?
- Верно ли: «15 — составное число»?
- Верно ли: «17 — составное число»?
- Верно ли: «1 — простое число»?
- Верно ли: «Любое чётное число больше 2 составное»?
Блок 2. Ищем контрпример или уточнение
- Утверждение: «Все нечётные числа простые». Приведи контрпример и кратко объясни.
- Утверждение: «Если число оканчивается на 5, оно составное». Всегда ли это верно?
- Утверждение: «Если число имеет делитель 3, оно составное». Найди исключение.
- Утверждение: «У простого числа ровно два положительных делителя». Объясни, почему это хороший критерий проверки.
- Утверждение: «У составного числа всегда можно найти пару множителей, оба больше 1». Верно ли?
- Утверждение: «37 составное, потому что 37>30». Исправь рассуждение.
Блок 3. Находим ошибку в доказательстве
- Ученик доказывает составность 21 так: «21=20+1». Достаточно ли этого? Исправь доказательство.
- Ученик говорит: «29 не делится на 2, значит простое». Где ошибка?
- Ученик записал: «49 простое, потому что нечётное». Найди ошибку и дай правильное доказательство.
- Ученик записал: «51 составное, потому что 5+1=6 и 6 делится на 3». Проверь рассуждение.
- Ученик считает 77 простым, потому что оно не делится на 2, 3 и 5. Какой проверки не хватило?
- Ученик утверждает: «91 — простое». Найди короткое опровержение.
Блок 4. Выбираем сильное доказательство
- Выбери верное утверждение о 23: а) составное, потому что больше 20; б) простое, потому что имеет только делители 1 и 23; в) составное, потому что нечётное.
- Выбери верное утверждение о 39: а) простое; б) составное, потому что 39=3×13; в) составное, потому что больше 30.
- Сравни утверждения «25 составное» и «25 нечётное». Какое из них помогает определить простоту и почему?
- Проверь два утверждения вместе: «31 простое» и «33 простое». Какое неверно?
- Есть три утверждения: 1) 2 простое; 2) 27 составное; 3) 1 составное. Сколько верных?
- Составь верное утверждение о числе 35 и добавь доказательство одним произведением. Критерий: должно быть сказано, что число составное, и указана корректная пара множителей.
Блок 5. Доказательный ответ и самопроверка
- Почему утверждение «все простые числа нечётные» неверно, хотя почти все знакомые простые числа нечётные?
- Как проверить утверждение «83 простое» для числа меньше 100?
- Верно ли: «Если число имеет ровно одну пару множителей 1×n, оно простое» для n>1?
- Верно ли: «Если удалось найти произведение a×b=n, то n составное» без дополнительных условий на a и b?
- Дай краткое объяснение, почему 97 простое. Критерий: упомяни проверку возможных простых делителей меньше 10.
- Самопроверка: отметь истинные утверждения: а) 41 простое; б) 49 простое; в) 57 составное; г) 61 простое; д) 1 составное.
Ответы и пояснения
- Верно. Делители 2: 1 и 2.
- Неверно. 9=3×3, поэтому 9 составное.
- Верно. 15=3×5.
- Неверно. 17 простое.
- Неверно. 1 ни простое, ни составное.
- Верно: оно делится на 2 и имеет делитель, отличный от 1 и самого числа.
- Например, 9: нечётное, но 9=3×3, поэтому составное.
- Нет. Число 5 — простое. Для чисел больше 5, оканчивающихся на 5, утверждение верно.
- Число 3: оно делится на 3, но простое. Уточнение: если число больше 3 и делится на 3, оно составное.
- Сильный ответ: это определение простого числа; если найден третий делитель, число уже не простое, а если делители только 1 и само число, оно простое.
- Верно. Такая пара даёт нетривиальные делители.
- Размер числа не определяет составность. 37 простое: делителей кроме 1 и 37 нет.
- Недостаточно. Нужно показать нетривиальный делитель: 21=3×7.
- Нужно проверить и другие возможные делители. Для 29 делителей действительно нет, но одной проверки на 2 недостаточно.
- Нечётность не означает простоту. 49=7×7, поэтому число составное.
- Верно: если сумма цифр делится на 3, число делится на 3; 51=3×17.
- Делимости на 7: 77=7×11, значит число составное.
- 91=7×13, поэтому 91 составное.
- б).
- б).
- «25 составное» связано с делителями; доказательство: 25=5×5. Нечётность сама по себе не определяет простоту.
- Второе неверно: 33=3×11; 31 простое.
- Два: 1) и 2).
- Пример сильного ответа: «35 — составное число, потому что 35=5×7».
- Потому что 2 — простое и чётное; одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть общее утверждение.
- Проверить делимость на 2, 3, 5 и 7. Ни один не делит 83, поэтому 83 простое.
- Да. Это означает, что нет других положительных делителей; у числа ровно два делителя — 1 и n.
- Не всегда: 1×n есть у любого числа. Для доказательства составности нужно, чтобы оба множителя были больше 1 и меньше n.
- Сильный ответ: 97 не делится на 2, 3, 5 или 7; для числа меньше 100 других возможных простых делителей до √97 нет, поэтому 97 простое.
- Истинны а), в), г). 49=7×7; 1 ни простое, ни составное.
Как работать с карточкой
В заданиях 10, 25 и 29 особенно оценивайте ход рассуждения. Сильный ответ содержит не только вывод, но и проверяемое основание: делители, произведение, контрпример или перечисление проверенных возможных делителей.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.