Найди способ и проверь себя: Среднее арифметическое трёх небольших чисел через выравнивание — 4 класс
Среднее через выравнивание. Представь три столбика одинаковых кубиков. Если аккуратно перенести лишние кубики с более высокого столбика на более низкий, общая сумма не изменится. Когда все три столбика станут одинаковыми, высота каждого и будет средним арифметическим.
Содержание статьи7 разделов
Три разобранных примера
6 + 9 + 12. 12 отдаёт 3 числу 6: получаем 9, 9, 9. Проверка вычислением: сумма 27, делим на 3: 27 : 3 = 9.
14 + 10 + 12. 14 отдаёт 2 числу 10: получаем 12, 12, 12. Проверка вычислением: сумма 36, делим на 3: 36 : 3 = 12.
18 + 15 + 12. 18 отдаёт 3 числу 12: получаем 15, 15, 15. Проверка вычислением: сумма 45, делим на 3: 45 : 3 = 15.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
Сравни две модели: таблица и «выравнивание»
| День | Число решённых задач |
|---|---|
| Понедельник | 8 |
| Вторник | 11 |
| Среда | 14 |
| Четверг | 10 |
| Пятница | 17 |
Способ A: сумма и деление.
Для трёх значений 8, 11, 14: 8 + 11 + 14 = 33; 33 : 3 = 11.
Для трёх значений 8, 11, 14: 8 + 11 + 14 = 33; 33 : 3 = 11.
Способ B: выравнивание.
14 отдаёт 3 числу 8. Получаем 11, 11, 11. Среднее равно 11.
14 отдаёт 3 числу 8. Получаем 11, 11, 11. Среднее равно 11.
1. Найди среднее первых трёх дней двумя способами.
2. Для чисел 11, 14, 10 выбери более удобный способ и найди среднее.
3. Найди среднее значений 8, 10, 12 через выравнивание.
4. Ученик написал: среднее 6, 9 и 12 равно 27. Исправь решение.
Выбери способ: перенести или вычислить
5. Найди среднее чисел 7, 10, 13. Укажи, какой способ короче, и проверь вторым способом.
6. Найди среднее чисел 20, 17, 14. Укажи, какой способ короче, и проверь вторым способом.
7. Найди среднее чисел 9, 12, 15. Укажи, какой способ короче, и проверь вторым способом.
8. Найди среднее чисел 16, 16, 16. Укажи, какой способ короче, и проверь вторым способом.
9. Найди среднее чисел 4, 10, 16. Укажи, какой способ короче, и проверь вторым способом.
10. Найди среднее чисел 21, 15, 18. Укажи, какой способ короче, и проверь вторым способом.
Исправь готовое решение и объясни ошибку
11. Для 12, 15, 18 записано: «12 + 15 + 18 = 45; 45 : 2 = 22 остаток 1». Найди первый неверный шаг.
12. Для 9, 12, 15 ученик перенёс 3 от 15 к 9 и получил 12, 12, 12, но затем ответил 36. Что перепутано?
13. Для 6, 12, 18 ученик заявил, что среднее равно 18, потому что это самое большое число. Исправь.
14. Для 8, 8, 14 ученик переносит 2 от 14 к первому 8 и останавливается на 10, 8, 12. Закончил ли он выравнивание?
Самодиагностика ошибки. Если ответ не совпал с ключом, сначала определи тип ошибки: (1) неверно сложены данные; (2) сумма поделена не на количество значений; (3) перепутано среднее и одно из наблюдений; (4) при восстановлении неизвестного не найден общий итог; (5) вывод сделан без проверки исходной таблицы. Запиши тип ошибки, исправь только ошибочный шаг и повтори проверку обратным действием.
Применение к данным: короткие и многочастные задания
| Набор | Значение 1 | Значение 2 | Значение 3 |
|---|---|---|---|
| A | 5 | 8 | 11 |
| B | 13 | 16 | 19 |
| C | 24 | 18 | 12 |
| D | 7 | 7 | 7 |
15. Найди среднее набора A.
16. Найди среднее набора B и проверь выравниванием.
17. Найди среднее набора C.
18. Чем среднее набора B больше среднего набора A?
19. Как изменится среднее набора A, если к каждому числу прибавить 2?
20. Объясни, почему среднее набора D сразу видно без вычислений.
Самостоятельная серия и мини-проверка
21. Найди среднее 30, 24, 18.
22. Найди среднее 25, 20, 15 и проверь суммой.
23. Придумай три разных числа со средним 14.
24. Почему набор 13, 14, 15 особенно удобно усреднять выравниванием?
Критерий 1. Все исходные значения учтены ровно один раз.
Критерий 2. При выравнивании общая сумма не меняется.
Критерий 3. При вычислении сумма делится на число наблюдений.
Критерий 4. Ответ находится между минимальным и максимальным значениями.
Ответы и пояснения
1. 11 задач. Сумма 33, 33 : 3 = 11; при выравнивании 14 отдаёт 3 числу 8.
2. Сумма удобна: 11 + 14 + 10 = 35; 35 на 3 не делится без остатка, поэтому для 4 класса без дробного ответа этот набор не подходит как самостоятельное среднее. В задании важно заметить это и не придумывать целый результат.
3. 10. Число 12 отдаёт 2 числу 8: 10, 10, 10.
4. 27 — сумма, а не среднее. Нужно 27 : 3 = 9.
5. 10. Проверка: сумма 30, 30 : 3 = 10. Выравнивание должно привести к трём значениям по 10.
6. 17. Проверка: сумма 51, 51 : 3 = 17. Выравнивание должно привести к трём значениям по 17.
7. 12. Проверка: сумма 36, 36 : 3 = 12. Выравнивание должно привести к трём значениям по 12.
8. 16. Проверка: сумма 48, 48 : 3 = 16. Выравнивание должно привести к трём значениям по 16.
9. 10. Проверка: сумма 30, 30 : 3 = 10. Выравнивание должно привести к трём значениям по 10.
10. 18. Проверка: сумма 54, 54 : 3 = 18. Выравнивание должно привести к трём значениям по 18.
11. Ошибка в делителе: значений три, поэтому 45 : 3 = 15.
12. 36 — сумма трёх выровненных значений. Среднее — высота одного столбика, 12.
13. Среднее равно 12: сумма 36, 36 : 3 = 12.
14. Нет. Нужно получить 10, 10, 10: после первого переноса ещё 2 от 12 переходят ко второму 8.
15. 8.
16. 16; 19 отдаёт 3 числу 13.
17. 18.
18. На 8: 16 − 8 = 8.
19. Увеличится на 2: станет 10. Новый набор 7, 10, 13.
20. Все три значения равны 7, поэтому выравнивать нечего: среднее 7.
21. 24.
22. 20; сумма 60, 60 : 3 = 20.
23. Например 10, 14, 18. Сумма 42, 42 : 3 = 14. Возможны и другие верные тройки.
24. 15 отдаёт 1 числу 13, и сразу получается 14, 14, 14; среднее 14.
Как проверить себя независимо. После выравнивания сложи исходные три числа и раздели сумму на 3. После способа «сумма : 3» мысленно перераспредели лишние единицы так, чтобы три значения стали одинаковыми. Если два способа дают один результат, а он лежит между наименьшим и наибольшим исходным числом, проверка согласована.
Как объяснить решение другому ученику. Назови, что именно усредняется, перечисли использованные данные, объясни смысл суммы и делителя, а затем сделай короткую проверку. В задачах на сравнение отдельно скажи, почему сравниваются именно средние. В задачах на поиск ошибки укажи первый неверный шаг, а не только конечный неверный ответ. Такой порядок помогает отличить вычислительную ошибку от ошибки в понимании условия.
Как объяснить решение другому ученику. Назови, что именно усредняется, перечисли использованные данные, объясни смысл суммы и делителя, а затем сделай короткую проверку. В задачах на сравнение отдельно скажи, почему сравниваются именно средние. В задачах на поиск ошибки укажи первый неверный шаг, а не только конечный неверный ответ. Такой порядок помогает отличить вычислительную ошибку от ошибки в понимании условия.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.