Найди способ и проверь себя: Задача на производительность двух исполнителей, работающих по очереди — 4 класс
Когда два исполнителя работают по очереди, их результаты нельзя складывать «за один час», если они не работали одновременно. Нужно учитывать, сколько времени работал каждый, затем складывать выполненные объёмы. В этой практике ты сначала распознаешь структуру задачи, затем применишь её, объяснишь ход и проверишь ответ другим способом.
Содержание статьи9 разделов
Распознай: кто, сколько и когда работает
| Исполнитель | Производительность | Время работы | Работа |
|---|---|---|---|
| Алия | 18 деталей/ч | 3 ч | ? |
| Бек | 24 детали/ч | 2 ч | ? |
| Дана | 15 деталей/ч | 4 ч | ? |
| Ержан | 20 деталей/ч | 3 ч | ? |
- Заполни строку Алии.
- Заполни строку Бека.
- Заполни строку Даны.
- Заполни строку Ержана.
- Кто за указанное время выполняет больше всего деталей?
Примени: задачи по очереди без скрытых шагов
- Первый мастер делает 16 деталей/ч и работает 4 ч. Затем второй делает 22 детали/ч и работает 3 ч. Сколько деталей изготовлено всего?
- Один оператор обрабатывает 28 заявок/ч в течение 2 ч, затем другой — 35 заявок/ч в течение 2 ч. Найди общий результат.
- Первая машина упаковывает 40 коробок/ч 3 ч, вторая — 55 коробок/ч 2 ч. Сколько коробок упаковано?
- Садовник высаживает 12 саженцев/ч 5 ч, затем помощник — 18 саженцев/ч 2 ч. Найди итог.
- Курьер сортирует 25 посылок/ч 2 ч, затем коллега — 30 посылок/ч 4 ч. Сколько посылок отсортировано?
Объясни: схема времени и выбор действия
- Объясни, почему в задаче 6 нельзя сначала сложить 16 + 22 и умножить результат на 7 ч.
- Сравни две записи для задачи 7: а) 28 × 2 + 35 × 2; б) (28 + 35) × 2. Здесь они дают одинаковый результат. Почему это произошло, и можно ли так делать всегда?
- Для задачи 8 составь таблицу «производительность — время — работа» и проверь итог.
- Придумай краткое правило, которое поможет не перепутать последовательную и одновременную работу.
Проверь: найди ошибку в готовом решении
- Условие: 14 изделий/ч в течение 3 ч, затем 20 изделий/ч в течение 2 ч. Ученик: 14 + 20 = 34; 34 × 5 = 170 изделий. Исправь.
- Условие: 32 стр./ч 2 ч, затем 18 стр./ч 3 ч. Ученик: 64 + 54 = 118 стр. Проверь.
- Условие: 25 деталей/ч 4 ч, затем 30 деталей/ч 1 ч. Ученик написал 25 × 4 + 30 = 130. Верно ли?
- Условие: 15 коробок/ч 2 ч, затем 15 коробок/ч 3 ч. Ученик применил (2 + 3) × 15. Почему здесь сокращённый способ допустим?
Перенос навыка: одна большая практическая задача
| Этап | Исполнитель | Производительность | Время |
|---|---|---|---|
| 1 | Линия A | 36 упаковок/ч | 3 ч |
| 2 | Линия B | 48 упаковок/ч | 2 ч |
| 3 | Линия A | 36 упаковок/ч | 1 ч |
- Сколько упаковок сделано на этапе 1?
- Сколько на этапе 2?
- Сколько на этапе 3?
- Сколько всего упаковок изготовлено?
- Проверь итог, сгруппировав два этапа линии A в один общий промежуток.
- Если нужно изготовить 260 упаковок, сколько упаковок останется после выполнения показанного плана?
Как не спутать работу по очереди с совместной работой
Ключевой вопрос: работают ли исполнители в один и тот же промежуток времени. В этой странице — нет. Пока работает первый, второй ещё не начал или уже закончил. Поэтому складывать их производительности как «общую производительность за час» обычно нельзя.
Запись 18 × 3 + 24 × 2 читается словами: «Алия за три часа сделала 54 детали, затем Бек за два часа сделал 48 деталей; вместе 102». Эта словесная расшифровка — хороший способ проверить формулу. Если формулу нельзя правдоподобно прочитать по условию, вероятно, в ней перепутаны время или производительность.
Иногда выражение можно упростить. Если оба исполнителя имеют одинаковую производительность, например 15 единиц/ч, а работают последовательно 2 ч и 3 ч, то 15 × 2 + 15 × 3 = 15 × 5. Здесь сокращение законно, потому что общий множитель действительно один и тот же.
Когда задача содержит слово «затем», это важный сигнал последовательности. Оно не всегда гарантирует, что исполнители не пересекались по времени, но в наших условиях прямо означает: первый этап завершился, после него начался второй. Поэтому каждый этап имеет собственный промежуток времени и собственный объём работы.
Чтобы самостоятельно проверить составленную формулу, подпиши множители словами. Например, 22 детали/ч × 3 ч = 66 деталей. Если вместо часов рядом с производительностью случайно оказалось число деталей другого исполнителя, единицы уже подскажут, что действие составлено неверно.
Проверка размерности и оценка результата
Производительность дана в единицах за час. После умножения на часы остаются просто единицы выполненной работы: детали, заявки, страницы или коробки. Если в окончательном ответе осталось «деталей/ч», значит производительность не была преобразована в объём работы.
Оценка тоже помогает. Если первый мастер делает примерно 20 деталей в час четыре часа, это около 80 деталей. Второй делает немного больше 20 деталей в час три часа — ещё около 60. Поэтому итог около 140 выглядит правдоподобно, а 700 деталей — нет. Оценка не заменяет точный расчёт, но быстро обнаруживает лишний множитель.
При одинаковом времени у двух исполнителей допустима ещё одна проверка: a × t + b × t = (a + b) × t. Но это лишь арифметическое преобразование двух уже корректных этапов, а не утверждение, что исполнители работали одновременно.
Независимая проверка через группировку этапов
Если один и тот же исполнитель появляется на нескольких этапах, его часы можно объединить. В итоговой задаче линия A работает 3 ч, затем после линии B ещё 1 ч. Можно посчитать 36 × 3 + 48 × 2 + 36 × 1, а можно сначала объединить A: 36 × 4 + 48 × 2. Оба способа дают 240 упаковок.
Такая проверка независима по структуре: второе вычисление группирует данные иначе. Если оба результата совпали, меньше вероятность, что потерян один этап. При этом нельзя объединять этапы с разной производительностью под одним множителем.
Ещё одна проверка — сравнить вклад каждого этапа. Если исполнитель работает дольше и при этом имеет не меньшую производительность, его результат не должен оказаться меньше результата более короткого и медленного этапа. Это логическая проверка, которая помогает заметить переставленные множители.
Например, 30 деталей/ч за 4 ч дают 120 деталей, а 25 деталей/ч за 2 ч — 50 деталей. Если в ответе второй этап оказался больше первого, стоит проверить, не перепутаны ли времена или производительности. Такой контроль основан на смысле условия, а не только на арифметике.
Итоговую запись всегда сверяй с единицами измерения и смыслом каждого этапа.
Ответы и пояснения
- 54 детали.
- 48 деталей.
- 60 деталей.
- 60 деталей.
- Дана и Ержан: по 60 деталей.
- 16 × 4 + 22 × 3 = 64 + 66 = 130 деталей.
- 28 × 2 + 35 × 2 = 56 + 70 = 126 заявок.
- 40 × 3 + 55 × 2 = 120 + 110 = 230 коробок.
- 12 × 5 + 18 × 2 = 60 + 36 = 96 саженцев.
- 25 × 2 + 30 × 4 = 50 + 120 = 170 посылок.
- Потому что 16 и 22 — разные производительности разных исполнителей и они действовали не все 7 часов.
- Оба работали одинаковое число часов — по 2, поэтому можно вынести общий множитель 2: 28 × 2 + 35 × 2 = (28 + 35) × 2. При разном времени такой приём напрямую не работает.
- 120 и 110, всего 230 коробок; таблица подтверждает сумму.
- При последовательной работе сначала находи работу каждого за его собственное время, потом складывай.
- 14 × 3 + 20 × 2 = 42 + 40 = 82 изделия.
- Верно: 32 × 2 = 64, 18 × 3 = 54, всего 118 страниц.
- Верно: 25 × 4 + 30 × 1 = 100 + 30 = 130 деталей.
- Производительность одинакова — 15 коробок/ч, поэтому можно сложить время: 5 ч × 15 = 75 коробок.
- 36 × 3 = 108 упаковок.
- 48 × 2 = 96 упаковок.
- 36 × 1 = 36 упаковок.
- 108 + 96 + 36 = 240 упаковок.
- Линия A работала суммарно 4 ч: 36 × 4 = 144; линия B — 96; 144 + 96 = 240. Это независимая проверка.
- 260 − 240 = 20 упаковок.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.