Касательная как перпендикуляр к радиусу: задачи и решения для 8 класса
Содержание статьи7 разделов
Быстрая диагностика: верно ли вы понимаете касательную?
Окружность имеет центр O, точка T лежит на окружности. Прямая l касается окружности в T. Укажите, почему угол между OT и l равен 90°. Затем решите устно: если OT = 6 см и OT ⟂ l, может ли l быть касательной? Да: перпендикуляр в точке окружности определяет касательную.
Два свойства, которых достаточно для этой карточки
Прямое свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Обратное: прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу в этой точке, — касательная. Если P находится вне окружности, то треугольник OPT прямоугольный; поэтому OP² = OT² + PT². Важно: перпендикуляр к радиусу, проведённый не в его конце на окружности, не обязательно является касательной.
Самостоятельная проверочная: 10 разных заданий
- 1. Окружность с центром O и радиусом OA = 4 см; прямая m проходит через A и касается окружности. Найдите ∠OAm.
- 2. Луч OA образует с прямой k угол 90°, а A лежит на окружности с центром O. Докажите, что k — касательная.
- 3. PT — касательная, OT = 5 см, OP = 13 см. Найдите PT.
- 4. PT касается окружности в T, PT = 24 см, радиус 7 см. Найдите OP.
- 5. OP = 10 см, PT = 8 см, T — точка касания. Определите радиус.
- 6. Прямая пересекает радиус OA в точке A под углом 87°. Является ли она касательной к окружности в A?
- 7. O — центр, A на окружности. Две прямые через A: первая перпендикулярна OA, вторая образует с OA угол 60°. Сколько из них касательных в A?
- 8. OP = 17 см, радиус OT = 8 см, PT предполагается касательной. Какова её длина и почему она существует?
- 9. В треугольнике OPT угол OTP = 90°, OT = 9 см, PT = 12 см. Сколько сантиметров от центра O до внешней точки P?
- 10. Через точку T окружности с центром O проведена прямая, перпендикулярная OT. Ученик утверждает, что она пересекает окружность ещё раз. Опровергните.
Порядок решения вычислительной задачи
Сначала обозначьте точку касания буквой T и поставьте значок прямого угла при T. Определите, где расположена внешняя точка P: отрезок OP всегда является гипотенузой прямоугольного треугольника OPT. Поэтому при нахождении касательной возводят OP и OT в квадрат и вычитают квадраты; при нахождении OP — складывают квадраты. При радиусе 5 см и расстоянии OP = 4 см реальной касательной из P нет: точка P расположена внутри окружности. Не следует подставлять такие величины в квадратный корень и объявлять формальный результат длиной.
Для доказательства касания вовсе не нужно измерять радиус линейкой: достаточно трёх фактов — точка T принадлежит окружности, прямая проходит через T и угол между прямой и OT равен 90°. Если не сказано, что T лежит на окружности, одного прямого угла недостаточно. Чертёж помогает увидеть условие, но не заменяет доказательства.
Таблица самопроверки
| № | Ответ и обоснование |
|---|---|
| 1 | 90°: свойство радиуса к точке касания. |
| 2 | Да: точка A лежит на окружности и k ⟂ OA именно в A; работает обратное свойство. |
| 3 | √(13² − 5²) = √144 = 12 см; OP — гипотенуза. |
| 4 | √(24² + 7²) = √625 = 25 см. |
| 5 | √(10² − 8²) = √36 = 6 см; 10 > 8, корень допустим. |
| 6 | Нет: угол должен быть точно 90°, а не 87°. |
| 7 | Одна: первая; в одной точке окружности касательная единственна. |
| 8 | √(17² − 8²) = √225 = 15 см; P вне окружности, поскольку 17 > 8. |
| 9 | √(9² + 12²) = 15 см. |
| 10 | У касательной с окружностью единственная общая точка T; второй точки нет. Перпендикулярность OT доказывает касание. |
Ещё одна проверка условия перед вычислением
Предположим, что расстояние от внешней точки до центра составляет 11 см, а радиус — 11 см. Точка находится на окружности: «касательная от внешней точки» здесь превращается в касательную, проведённую непосредственно в этой точке. Длина отрезка между P и T равна нулю, если P = T, однако это не тот же геометрический случай, что отрезок положительной длины к окружности из внешней точки. Если OP меньше радиуса, точки касания из P вообще не существует. Следовательно, перед применением теоремы Пифагора нужно уточнить расположение P.
Когда доказано, что угол при T прямой, проверяйте не только вычисление, но и подписи: OT — радиус, PT — отрезок касательной, OP — отрезок от центра до P. Все три имеют единицу длины. При числах, полученных из построения, округлять следует только готовый результат, а не квадраты промежуточных чисел.
Три частые ошибки
- Любой перпендикуляр — касательная. Нет: он должен быть проведён через конец радиуса на окружности.
- Путают гипотенузу и катет. Отрезок OP от центра до внешней точки больше радиуса и касательной; именно OP — гипотенуза.
- Забывают единицы. После вычисления квадратного корня из см² получаем сантиметры, а не квадратные сантиметры.
Критерий: 9–10 правильных — навык закреплён; 7–8 — повторите обратное свойство; менее 7 — начните с чертежа и отметки прямого угла.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.