Количество диагоналей выпуклого многоугольника — задания на закрепление, 9 класс

Упражнения на закрепление. Диагональ выпуклого многоугольника соединяет две несоседние вершины. Сторона соединяет соседние; сама вершина с собой не образует отрезок. Условие выпуклости гарантирует, что все диагонали лежат внутри фигуры либо на её границе только концами.

Первая задача: почему не 70, а 35?

У выпуклого десятиугольника из каждой вершины можно провести диагонали к 10−3=7 другим вершинам: нельзя соединять вершину с собой и с двумя соседями. Получается 10·7=70 направленных способов указать диагональ. Но отрезок AC тот же, что CA, поэтому каждую диагональ сосчитали дважды. Настоящее число D=70/2=35.

Два метода решения

Метод A — по вершинам: D = n(n−3)/2. Метод B — по всем парам: любые две различные вершины образуют C(n,2)=n(n−1)/2 пар. Из них ровно n пар соответствуют сторонам, поэтому D=C(n,2)−n. Оба метода дают один результат, но второй удобен для обнаружения ошибок при подсчёте сочетаний.

Часть I. От треугольника к двенадцатиугольнику

Решайте без калькулятора, записывая произведение и деление на 2.

1. Найдите число диагоналей выпуклого 3-угольника; объясните деление на два.
2. Найдите число диагоналей выпуклого 4-угольника; объясните деление на два.
3. Найдите число диагоналей выпуклого 5-угольника; объясните деление на два.
4. Найдите число диагоналей выпуклого 6-угольника; объясните деление на два.
5. Найдите число диагоналей выпуклого 7-угольника; объясните деление на два.
6. Найдите число диагоналей выпуклого 8-угольника; объясните деление на два.
7. Найдите число диагоналей выпуклого 9-угольника; объясните деление на два.
8. Найдите число диагоналей выпуклого 10-угольника; объясните деление на два.
9. Найдите число диагоналей выпуклого 11-угольника; объясните деление на два.
10. Найдите число диагоналей выпуклого 12-угольника; объясните деление на два.

Часть II. Ловушки двойного счёта

В каждом пункте объясните, почему задача относится к неупорядоченным парам вершин.

11. В выпуклом многоугольнике ровно 14 диагоналей. Сколько у него сторон?
12. У фигуры 27 диагоналей. Найдите n.
13. Может ли у выпуклого многоугольника быть ровно 12 диагоналей?
14. У выпуклого 10-угольника ученик насчитал 70 направленных пар вершин и назвал их диагоналями. Исправьте счёт.
15. У выпуклого 9-угольника всего 36 пар вершин. Сколько из них диагонали?
16. На сколько увеличится число диагоналей при переходе от n-угольника к (n+1)-угольнику?
17. Выпуклый 12-угольник: сколько диагоналей выходит из одной вершины и сколько всего?
18. Докажите вторым способом формулу для D, используя все пары вершин.

Решения со сверкой исходных данных

Чего делать нельзя

• Нельзя считать сторону диагональю: у выпуклого n-угольника n сторон, и их надо вычесть из всех пар вершин.
• Нельзя оставлять число n(n−3), не поделив на 2: один отрезок виден из двух концов, но остаётся одним геометрическим объектом.
• Нельзя применять формулу с n=2: многоугольник начинается с трёх сторон. Нельзя также интерпретировать дробный результат n как число вершин.

Если получено невозможное число диагоналей (например, 12 в № 13), проверьте последовательные значения функции D(n), а не округляйте найденное n. Самопроверка: восемнадцать правильных решений дают максимальный результат; баллы за частичные доводы начисляйте отдельно только при верном понимании, какие пары считаются.

Разбор особых случаев

У треугольника диагоналей нет: каждая пара его вершин уже соединена стороной. У четырёхугольника есть ровно две диагонали, у пятиугольника — пять. Эти значения нужно помнить как опорные, потому что они позволяют обнаружить ошибку, если формулу n(n−3)/2 применили неверно. Особенно важно не пытаться делить число сторон пополам: диагонали образованы парами вершин, но не всякая пара вершин даёт диагональ.

Почему при переходе от девятиугольника к десятиугольнику диагоналей становится на восемь больше? По формуле D(9)=27, D(10)=35, разность восемь. Общее выражение D(n+1)−D(n)=n−1 показывает, что новое число сторон увеличивает количество диагоналей не на постоянное число, а тем сильнее, чем больше вершин уже есть. Это поможет и в задаче без рисунка: начиная с треугольника, последовательные приросты равны 2, 3, 4, 5 и так далее.

Проверка подсчёта сочетаний

У девятиугольника всего C(9,2)=9·8/2=36 неупорядоченных пар различных вершин. Девять из них являются сторонами. Остаётся 36−9=27 диагоналей. Это независимая проверка формулы 9·6/2=27. У десятиугольника аналогично получаем C(10,2)=45 и 45−10=35. Подход через все пары особенно полезен, когда в задаче предлагают неправильный «готовый ответ» и просят найти, в каком месте повторили один и тот же отрезок.

Задание о 12 диагоналях проверяется не подбором любого нецелого значения n, а свойством монотонного роста D(n). При n=6 диагоналей девять; при n=7 — четырнадцать. Между соседними допустимыми числами сторон никакой другой выпуклой фигуры с целым n нет. Поэтому 12 не может быть ответом. То же правило позволяет отвергать отрицательное число диагоналей и записи с n меньше трёх.

Памятка при проверке письменной работы

Сначала запишите, какую именно пару вершин вы выбираете: несоседнюю или произвольную. Затем объясните, учитывается ли направление соединения. Геометрический отрезок AB совпадает с BA — значит, при подсчёте из каждой вершины нужен делитель 2. В решениях обратных задач после определения числа сторон обязательно выполните подстановку и убедитесь, что n — целое. Не путайте число диагоналей из одной вершины (n−3) с общим числом (n(n−3)/2).

Обратная задача: как найти n по D без перебора

Если известна не фигура, а число её диагоналей D, можно начать с формулы n(n−3)/2=D. Переносим всё в одну сторону: n²−3n−2D=0. Для такого квадратного уравнения дискриминант равен 9+8D, поэтому n=(3+√(9+8D))/2; знак минус даёт неположительное или слишком маленькое для многоугольника значение. Здесь n всё равно должно быть целым числом не меньше 3. Например, если D=20, дискриминант равен 169, корень 13, и n=(3+13)/2=8. Подстановка даёт 8·5/2=20 диагоналей.

Если D=12, дискриминант равен 9+96=105 — это не квадрат целого числа, поэтому подходящего целого n нет. Этот алгебраический способ полностью согласуется с перебором соседних значений: D(6)=9 и D(7)=14. А если D=54, дискриминант равен 9+432=441=21², так что n=(3+21)/2=12. При решении задач на время удобно сначала прикинуть n по таблице, а затем доказать результат точной формулой.

Геометрическое доказательство на рисунке

Нарисуйте любой выпуклый шестиугольник и пронумеруйте вершины A, B, C, D, E, F по порядку. Из A выходят три диагонали — AC, AD, AE. Из B также выходят три, но некоторые отрезки, например BD и BE, будут перечислены при переходе от других вершин. Если считать отдельно по шести вершинам, получится 6·3=18 упоминаний, хотя уникальных диагоналей девять. Можно выписать пары: AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF, DF. Здесь каждая названа ровно один раз. Сравните список с ответом по формуле: 6(6−3)/2=9.

Полезная самопроверка: у десятиугольника есть 45 неупорядоченных пар вершин. Из них десять — стороны, а остальные 35 — диагонали. В перечне не должно быть пары вида AA, потому что вершины должны быть разными; не должно быть и двух отдельных диагоналей AB и BA, потому что это один и тот же отрезок. Именно устранение таких повторов лежит в основе подсчёта сочетаний.