Количество пар рукопожатий среди участников встречи — карточки с ответами, 9 класс

Каждое рукопожатие связывает двух разных участников. Если на встрече каждый пожимает руку каждому ровно один раз, общее число рукопожатий равно n(n−1)/2, где n — число участников. Половина возникает потому, что при подсчёте «каждый со всеми» пара Аня–Борис и пара Борис–Аня ошибочно учитываются дважды. Сам с собой никто не здоровается.

Почему это сочетания, а не перестановки

При семи участниках один человек может поздороваться с шестью другими. Кажется, что получится 7·6=42, но это число направленных записей встречи. Делим на два: 21. Другая проверка: если участников только трое — Д, Е, Ж — возможны ДЕ, ДЖ, ЕЖ: всего 3 пары. Формула даёт 3·2/2=3.

Если часть рукопожатий запрещена, подсчёт нужно скорректировать. Не считайте автоматически по общей формуле, если в условии явно сказано, что приветствуют друг друга только внутри группы или только между группами. Ниже приведены три разобранные модели и самостоятельные задания.

Три разобранных случая

1. Две команды по пять человек приветствуют только своих. В каждой по C(5,2)=10 пар; вместе 20. Считать C(10,2)=45 нельзя: в это число входят 25 пар из разных команд.
2. На встрече 9 человек, два конкретных знакомых друг другу руку не жмут. Имеем C(9,2)−1=36−1=35. Запрещена ровно одна пара, а не два участника.
3. 6 наставников и 4 стажёра приветствуют только участников другой группы. Каждому из 6 наставников соответствуют 4 стажёра: 6·4=24. Здесь каждую пару посчитали один раз, поскольку сначала выбран наставник, затем стажёр.

Карточки: выполни без калькулятора

Для каждой задачи запишите, что считается одним событием; представьте его как неупорядоченную пару. Если условие допускает другое толкование, выберите и оговорите нужное.

1. За столом сидят 8 человек. Каждый приветствует каждого ровно одним рукопожатием. Сколько рукопожатий?
2. В кружке 13 участников, между каждой парой состоялось одно приветствие. Сколько пар?
3. На школьном слёте встретился 21 человек. Определите число рукопожатий при полном обмене.
4. Зафиксировано 28 рукопожатий, каждый из присутствующих пожал руку каждому. Сколько было людей?
5. На встрече зарегистрировано 45 приветствий при полном обмене. Найдите число участников.
6. При полном обмене было 66 рукопожатий. Найдите число участников и обоснуйте единственность ответа среди натуральных n≥2.
7. Среди 10 участников одна заранее указанная пара не здоровается. Все остальные пары обменялись рукопожатием. Сколько рукопожатий?
8. Две команды из 6 и 4 человек приветствуют только товарищей по своей команде. Сколько рукопожатий?
9. Среди 12 гостей ровно три заранее заданные разные пары не обменялись приветствиями. Все другие пары — да. Сколько рукопожатий?
10. 4 преподавателя пожимают руки только 9 ученикам; ученики между собой и преподаватели между собой не здороваются. Сколько пар?
11. Из 16 приглашённых один не участвует в приветствиях вовсе; остальные здороваются между собой. Сколько рукопожатий?
12. Встречаются 7 представителей города А и 5 города Б. Приветствия разрешены только между представителями разных городов. Сколько рукопожатий?
13. У двух больших групп по 8 и 9 участников проходят рукопожатия только между группами. Сколько?
14. Из 14 собравшихся все знакомятся, кроме четырёх заранее указанных различных пар. Сколько рукопожатий?
15. На встрече 15 человек, один отказался пожимать руку; остальные обменялись рукопожатиями друг с другом. Сколько?

Разбор ответов по шагам

Почему важно слово «пара». Ученик может по ошибке посчитать 6·4 и разделить на два в задаче 10. Деление здесь не требуется: выбор «преподаватель, ученик» однозначно определяет одну пару, обратный порядок не пересчитывается. В задачах 4–6 неизвестное число людей должно быть целым и положительным; полученные значения обязательно подставляют в исходную формулу. Формула не работает без изменений, если участники пожимают руки повторно или встреча содержит рукопожатия втроём — таких событий в карточках нет.

Как доказать формулу и проверить обратную задачу

Расположите всех n участников в ряд. Первый человек мог бы пожать руки n−1 другим, второй — тоже n−1, и так далее. Получили бы n(n−1) записей вида «кто кому». Но всякая реальная пара (А, Б) присутствует в этой сумме дважды: один раз со стороны А, второй — со стороны Б. Других повторений нет, поэтому делитель равен ровно 2. Если участники одной группы не взаимодействуют с другой, сперва определите множество разрешённых пар, а потом используйте формулу отдельно для каждой части.

Обратная задача требует аккуратности. Если известно H рукопожатий и был полный обмен, решают n(n−1)/2=H. Значение n должно быть целым числом не меньше двух. Например, 20 рукопожатий соответствуют n=5, поскольку 5·4/2=10 — это ещё не 20, а 7·6/2=21 уже больше 20; ни одно натуральное число не даёт ровно 20. Поэтому нельзя автоматически объявлять участников «примерно шесть». При неполном обмене число гостей вообще нельзя восстановить лишь по общему числу рукопожатий без дополнительных условий.

Для проверки каждого результата можно воспользоваться двумя границами: H не может быть отрицательным, а для n человек число уникальных рукопожатий не превосходит C(n,2). Когда в задаче есть запрещённые пары, результат должен быть меньше этого максимума. Прежде чем вычитать их число, убедитесь, что речь идёт о разных парах: если одна и та же пара перечислена в условии дважды, вычитать два рукопожатия нельзя.