Координатное доказательство свойства параллелограмма — проверочная работа, 9 класс

Содержание статьи5 разделов

Быстрая диагностика перед проверочной

Уметь находить середину отрезка необходимо для координатного доказательства. Если концы отрезка имеют координаты (x₁; y₁) и (x₂; y₂), то его середина M имеет координаты ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).

  1. Найдите середину отрезка с концами (2; 1) и (6; 5).
  2. Вычислите вектор AB, если A(1; 2), B(4; 6).
  3. Каким равенством середин диагоналей можно подтвердить параллелограмм ABCD?

Ответы для самодиагностики: (4; 3); AB = (3; 4); середины AC и BD должны совпадать. Однако для невырожденного параллелограмма вершины не должны сливаться в одну точку или лежать все на одной прямой.

Правило доказательства — без опоры на внешний вид рисунка

Пусть вершины названы по порядку A, B, C, D. Достаточно показать, что диагонали AC и BD имеют одну середину. Для полноценного четырёхугольника дополнительно проверяют отсутствие вырождения: соседние векторы AB и AD не должны быть коллинеарны. Альтернативный способ — доказать AB = DC и AD = BC как равенства направленных векторов.

Десять заданий: докажите или опровергните

  1. Для A(1; 1), B(7; 1), C(7; 5), D(1; 5) проверьте середины диагоналей.
  2. Для A(−2; 0), B(3; 1), C(5; 5), D(0; 4) проверьте признак параллелограмма.
  3. Для A(0; 0), B(4; 0), C(6; 3), D(2; 3) докажите свойство противоположных сторон с помощью векторов.
  4. Четырёхугольник A(0; 0), B(4; 1), C(5; 4), D(2; 3): верно ли, что диагонали делятся пополам?
  5. Известны A(1; 3), B(6; 3), C(7; 8). Найдите D так, чтобы ABCD был параллелограммом.
  6. Известны A(−1; 2), B(3; −2), C(6; 1). Восстановите координаты D.
  7. Для A(1; 1), B(5; 2), C(8; 6), D(4; 5) проверьте середины и невырожденность.
  8. A(0; 0), B(2; 2), C(4; 4), D(2; 2). Середины диагоналей совпадают. Является ли фигура параллелограммом?
  9. Известны A(0; −3), C(4; 1), B(5; 0). Найдите D по общему центру диагоналей.
  10. Для A(−3; 1), B(1; 4), C(6; 3), D(2; 0) докажите свойство диагоналей и проверьте, что соседние стороны не параллельны.

Таблица самопроверки

№ Вычисление Вывод
1 MAC = MBD = (4; 3). Да, AB горизонтален, AD вертикален.
2 Обе середины (1,5; 2,5). Да: AB = (5; 1), AD = (2; 4); 5·4 − 1·2 ≠ 0.
3 AB = DC = (4; 0); AD = BC = (2; 3). Да: направления и длины противоположных сторон совпадают.
4 MAC = (2,5; 2); MBD = (3; 2). Нет: середины различны.
5 D = A + C − B = (2; 8). Диагонали имеют одну середину (4; 5,5).
6 D = (2; 5). D = (−1 + 6 − 3; 2 + 1 − (−2)).
7 Середины обеих диагоналей (4,5; 3,5). Да: AB = (4; 1), AD = (3; 4), определитель 13 ≠ 0.
8 Нет, B = D, а все точки лежат на y = x. Совпадение середин не делает вырожденную фигуру четырёхугольником.
9 M = (2; −1), D = 2M − B = (−1; −2). Проверка: середина BD есть (2; −1).
10 Середины обеих диагоналей (1,5; 2). AB = (4; 3), AD = (5; −1), определитель −19 ≠ 0.

Три типичные ошибки

  1. Сравнивают длины диагоналей, а не их середины. Равные диагонали сами по себе не доказывают параллелограмм: например, у равнобедренной трапеции они тоже равны.
  2. Забывают о порядке вершин. Используйте именно AC и BD при обходе A → B → C → D. Перестановка букв меняет диагонали.
  3. Не проверяют вырождение. Если B = D или все вершины лежат на одной прямой, вычислительное равенство середины может выполняться, но обычного параллелограмма нет.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым