Координаты вектора по двум точкам пространства: задания от простого к сложному, 11 класс

Короткая проверка навыка

Вектор от точки A к точке B записывают AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA). Важен порядок точек: перемещение от A к B противоположно перемещению от B к A. Три координаты — не длина вектора; вычислять квадратные корни в этой карточке не требуется. Ответ можно проверить сложением: координаты A плюс полученный вектор должны дать координаты B.

1. Пусть A(2; −1; 4), B(6; 3; 1). Найдите AB. Быстрая проверка: (4; 4; −3).
2. AB = (−2; 7; 1). Чему равен BA? Проверка: (2; −7; −1).
3. Если у точек одинаковы z-координаты, может ли z-компонента AB быть ненулевой? Ответ: нет; Δz = 0.

Мини-тест: 16 заданий в трёх форматах

Задания 1–8 — вычислите три координаты вектора. В заданиях 9–12 восстановите неизвестный конец или начало; в последних четырёх объясните выбор ответа. Под заданиями не записаны готовые решения: их можно использовать как карточку для печати.

1. Даны A(-2; 3; 5) и B(4; -1; 9). Запишите вектор AB по координатам.
2. Даны A(7; -4; 0) и B(3; 2; -5). Запишите вектор AB по координатам.
3. Даны A(-6; -2; 8) и B(-1; 5; 1). Запишите вектор AB по координатам.
4. Даны A(0; 0; 0) и B(-3; 4; -2). Запишите вектор AB по координатам.
5. Даны A(5; 5; -7) и B(5; -1; 3). Запишите вектор AB по координатам.
6. Даны A(-4; 6; -1) и B(2; 6; 7). Запишите вектор AB по координатам.
7. Даны A(9; -3; 2) и B(1; -3; 2). Запишите вектор AB по координатам.
8. Даны A(-5; -8; -6) и B(4; -2; 0). Запишите вектор AB по координатам.
9. A(1; -5; 2), AB = (3; 4; -2). Найдите координаты B.
10. A(-7; 2; 0), AB = (-1; 6; 5). Найдите координаты B.
11. B(-3; 7; -2), AB = (-5; -1; 4). Восстановите координаты A.
12. B(5; -2; 4), AB = (8; -2; -3). Восстановите координаты A.
13. Выберите правильный AB, если A(−2; 5; 1), B(4; 3; −6): (6; −2; −7) или (−6; 2; 7). Обоснуйте.
14. Точки C(1; 2; 3) и D(1; 2; 3) совпадают. Назовите CD и поясните, почему он не «не существует».
15. На модели склада робот переходит из A(5; −1; 3) в B(5; 7; 3). Какое изменение координат отвечает за перемещение?
16. Вектор MN = (−4; 3; 0). Можно ли утверждать, что M(2; 2; −1), N(−2; 5; −1) ему соответствует? Проверьте.

Лист ответов и коротких проверок

1. 1. AB = (6; -4; 4): вычитаем A из B по трём осям; (-2; 3; 5) + (6; -4; 4) = (4; -1; 9).
2. 2. AB = (-4; 6; -5): вычитаем A из B по трём осям; (7; -4; 0) + (-4; 6; -5) = (3; 2; -5).
3. 3. AB = (5; 7; -7): вычитаем A из B по трём осям; (-6; -2; 8) + (5; 7; -7) = (-1; 5; 1).
4. 4. AB = (-3; 4; -2): вычитаем A из B по трём осям; (0; 0; 0) + (-3; 4; -2) = (-3; 4; -2).
5. 5. AB = (0; -6; 10): вычитаем A из B по трём осям; (5; 5; -7) + (0; -6; 10) = (5; -1; 3).
6. 6. AB = (6; 0; 8): вычитаем A из B по трём осям; (-4; 6; -1) + (6; 0; 8) = (2; 6; 7).
7. 7. AB = (-8; 0; 0): вычитаем A из B по трём осям; (9; -3; 2) + (-8; 0; 0) = (1; -3; 2).
8. 8. AB = (9; 6; 6): вычитаем A из B по трём осям; (-5; -8; -6) + (9; 6; 6) = (4; -2; 0).
9. 9. B=A+AB=(4; -1; 0); повторное вычитание B−A возвращает (3; 4; -2).
10. 10. B=A+AB=(-8; 8; 5); повторное вычитание B−A возвращает (-1; 6; 5).
11. 11. A=B−AB=(2; 8; -6); проверка: B−A=(-5; -1; 4).
12. 12. A=B−AB=(-3; 0; 7); проверка: B−A=(8; -2; -3).
13. 13. (6; −2; −7), поскольку 4−(−2)=6, 3−5=−2, −6−1=−7. Второй вариант — BA.
14. 14. CD=(0; 0; 0) — нулевой вектор. Совпадающие точки задают допустимый вектор с нулевыми компонентами.
15. 15. Только y меняется на +8: AB=(0; 8; 0). Не путайте новое значение y=7 и приращение 7−(−1)=8.
16. 16. Да: N−M=(−2−2; 5−2; −1−(−1))=(−4; 3; 0). Все три разности совпадают.

Разбор спорных вариантов

Ошибка знака возникает особенно часто, когда у начала координата отрицательная: 3−(−5)=8, а не −2. Для проверки подставьте ответ в равенство B=A+AB; оно верно в каждой координате отдельно. Нулевой вектор допускается, так как задача о координатах не требует ненулевой длины. Если заменить начало и конец местами, все компоненты меняют знак.

В пространстве можно двигаться вдоль одной оси, не меняя две другие. Так, вектор (0; 8; 0) описывает только изменение второй координаты. При геометрической интерпретации обязательно выясняйте единицы осей: если координаты заданы в метрах, компоненты перемещения также измеряются в метрах. Это не повод складывать компоненты как обычные числа, чтобы получить расстояние; расстояние — отдельная задача.

Самооценка: за задания 1–12 по одному баллу за правильный вектор или точку, за 13–16 по два балла с объяснением. Всего 20 баллов. Разберитесь в порядке вычитания прежде, чем переходить к вычислению длины пространственного вектора.