Косинус угла между векторами в пространстве — тренажёр по математике, 11 класс

Проверочная: косинус пространственного угла

Для ненулевых векторов a и b угол φ между ними лежит от 0° до 180°. Его косинус равен cos φ=(a·b)/(|a|·|b|), где a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃. Каждый из множителей |a| и |b| — длина соответствующего вектора. Если хотя бы один вектор нулевой, знаменатель равен нулю и угол не определён; это часть проверки области допустимости формулы.

Алгоритм из четырёх шагов: 1) найдите скалярное произведение; 2) найдите суммы квадратов компонент каждого вектора; 3) подставьте положительные длины в знаменатель; 4) убедитесь, что значение между −1 и 1. Если получен косинус 0, угол прямой; если 1 — совпадающее направление; если −1 — противоположное направление.

Базовый уровень: 12 вычислений

1. Даны a=(1; 0; 0), b=(0; 1; 0). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
2. Даны a=(2; 0; 0), b=(6; 0; 0). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
3. Даны a=(1; 0; 0), b=(-5; 0; 0). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
4. Даны a=(1; 1; 0), b=(1; 0; 1). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
5. Даны a=(1; 1; 0), b=(-1; 1; 0). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
6. Даны a=(1; 2; 2), b=(2; 1; 2). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
7. Даны a=(1; -1; 0), b=(0; 1; -1). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
8. Даны a=(3; 0; 4), b=(0; 5; 0). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
9. Даны a=(1; 2; 0), b=(2; -1; 0). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
10. Даны a=(-2; 0; 1), b=(2; 0; 4). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
11. Даны a=(2; 1; 2), b=(-2; -1; -2). Вычислите cos φ и укажите тип угла.
12. Даны a=(0; 1; 1), b=(1; -1; 0). Вычислите cos φ и укажите тип угла.

Повышенный уровень: оценка и обратные вопросы

1. a=(1; 2; 2), b=(2; 4; 4). Найдите cos φ и объясните геометрический смысл.
2. a=(1; 0; 2), b=(−2; 0; 1). Можно ли получить cos φ=0?
3. a=(0; 0; 0), b=(1; 2; 3). Найдите косинус угла.
4. a=(1; 1; 1), b=(−1; −1; −1). Укажите косинус и угол.
5. Для a=(2; 3; 6) и b=(1; −2; 2) вычислите косинус без десятичного округления.
6. При вычислении cos φ ученик получил 5/4. Может ли это быть верным?
7. Векторы a=(1; −2; 2), b=(−2; 4; −4). Определите косинус.
8. Найдите p, чтобы ненулевые a=(1; p; 1) и b=(1; 1; −2) образовывали прямой угол.

Полный ключ — числа и допустимость

Ответы к заданиям 13–20

1. 13. b=2a, поэтому cos φ=1, угол 0°; проверка: a·b=18, длины 3 и 6.
2. 14. Да: произведение −2+0+2=0, длины √5 и √5 ненулевые, φ=90°.
3. 15. Косинус не определён: |a|=0, знаменатель формулы нулевой; нельзя писать cos φ=0.
4. 16. Скалярное произведение −3, длины √3 и √3, cos φ=−1; угол 180°.
5. 17. a·b=2−6+12=8; |a|=7, |b|=3, cos φ=8/21 (острый угол).
6. 18. Нет. По неравенству Коши—Буняковского |a·b|≤|a||b|, поэтому −1≤cos φ≤1; найдите ошибку в длинах или произведении.
7. 19. b=−2a, поэтому косинус −1 и угол 180°, несмотря на ненулевые все три компоненты.
8. 20. a·b=1+p−2=p−1, поэтому p=1; оба вектора ненулевые и cos φ=0.

Критерии самопроверки

За каждое из заданий 1–12: 1 балл за скалярное произведение, 1 за две длины, 1 за правильный косинус и тип угла. За задания 13–20: 2 балла за результат и объяснение. Всего 52 балла. При ответе с корнями допускается оставлять дробь вида 1/(√2·√2), но полезно упрощать её до 1/2; отрицательное значение косинуса не означает отрицательную длину.

Наиболее опасные ошибки

• Перепутали косинус и скалярное произведение: числитель может быть равен 8, но косинус должен дополнительно делиться на произведение длин.
• Подставили в знаменатель сумму квадратов вместо квадратного корня и получили неправильную величину.
• Не проверили нулевой вектор и разделили на нуль.
• Считали, что при косинусе −1 угол острый: наоборот, векторы противоположно направлены.

Для двух векторов длины не имеют самостоятельных физических единиц в геометрической задаче, но если компоненты заданы в метрах, их скалярное произведение имеет единицы м², а произведение длин — тоже м²; их отношение безразмерно. Поэтому косинус всегда число, независимо от того, используются ли векторы скоростей, перемещений или геометрических направлений.