Квадрат разности с квадратными корнями — мини-тест с разбором для 8 класса

Три независимых варианта • 8 класс • 27 заданий • ответы и подробный критерий

Квадрат разности — это не разность квадратов. Для любых действительных a и b справедливо (a − b)² = a² − 2ab + b². Если в выражении есть корни, формула работает так же: (3 − √2)² = 9 − 6√2 + 2 = 11 − 6√2. Часто встречающаяся ошибка — записывать только 9 − 2 = 7, забывая среднее слагаемое.

Инструкция к самостоятельной работе

Распечатайте один из трёх вариантов для ученика. Каждый содержит девять примеров и постепенно усложняется: сначала число и один корень, затем коэффициенты перед корнем, в конце выражения с двумя квадратными корнями. Время на вариант — примерно 15 минут. При подготовке к контрольной можно решить все три варианта в разные дни, чтобы не заучивать конкретные числа.

Пишите решение в две строки: первая — разложение по формуле на a² − 2ab + b², вторая — приведение подобных слагаемых. Ученик получает балл за формулу и балл за окончательный ответ. Разрешается оставить квадратный корень в точной форме; заменять его приближением нежелательно.

До выполнения полезно проверить знак: квадрат любого действительного выражения неотрицателен. Например, (√2 − √5)² обязательно больше нуля, даже если √2 − √5 отрицательно. Если в результате появилось явно отрицательное число, ищите ошибку в формуле или коэффициентах.

Вариант 1 — задания ученику

Базовая последовательность: основное внимание уделяйте среднему слагаемому и знаку перед ним.

1. (3 − √2)² = __________
2. (4 − √3)² = __________
3. (√5 − 1)² = __________
4. (2√2 − 1)² = __________
5. (√7 − √2)² = __________
6. (3 − 2√5)² = __________
7. (√11 − 2)² = __________
8. (2√3 − √2)² = __________
9. (5 − √6)² = __________

Вариант 2 — задания ученику

Закрепление: здесь особенно важно не перепутать квадрат коэффициента и удвоенное произведение.

1. (2 − √7)² = __________
2. (√6 − 1)² = __________
3. (4 − 3√2)² = __________
4. (√10 − √3)² = __________
5. (3√3 − 2)² = __________
6. (5 − √11)² = __________
7. (√13 − 2√2)² = __________
8. (3 − √5)² = __________
9. (2√5 − √3)² = __________

Вариант 3 — задания ученику

Повышенная внимательность: сначала упростите √8, затем используйте общую формулу и завершите проверку знака результата.

1. (1 − 2√2)² = __________
2. (√3 − √5)² = __________
3. (6 − √2)² = __________
4. (2√7 − 3)² = __________
5. (√15 − √6)² = __________
6. (3√2 − 2√5)² = __________
7. (4 − √13)² = __________
8. (√17 − 1)² = __________
9. (5 − √14)² = __________

Полный ключ для учителя: вариант 1

Открывайте ключ только после выполнения варианта. Для каждой позиции даны все три части формулы, что позволяет найти точное место ошибки.

1. (3 − √2)² = 11 − 6√2. Подстановка: 9 − (6√2) + 2.
2. (4 − √3)² = 19 − 8√3. Подстановка: 16 − (8√3) + 3.
3. (√5 − 1)² = 6 − 2√5. Подстановка: 5 − (2√5) + 1.
4. (2√2 − 1)² = 9 − 4√2. Подстановка: 8 − (4√2) + 1.
5. (√7 − √2)² = 9 − 2√14. Подстановка: 7 − (2√14) + 2.
6. (3 − 2√5)² = 29 − 12√5. Подстановка: 9 − (12√5) + 20.
7. (√11 − 2)² = 15 − 4√11. Подстановка: 11 − (4√11) + 4.
8. (2√3 − √2)² = 14 − 4√6. Подстановка: 12 − (4√6) + 2.
9. (5 − √6)² = 31 − 10√6. Подстановка: 25 − (10√6) + 6.

Полный ключ: вариант 2

1. (2 − √7)² = 11 − 4√7. По формуле: 4 − 4√7 + 7.
2. (√6 − 1)² = 7 − 2√6. По формуле: 6 − 2√6 + 1.
3. (4 − 3√2)² = 34 − 24√2. По формуле: 16 − 24√2 + 18.
4. (√10 − √3)² = 13 − 2√30. По формуле: 10 − 2√30 + 3.
5. (3√3 − 2)² = 31 − 12√3. По формуле: 27 − 12√3 + 4.
6. (5 − √11)² = 36 − 10√11. По формуле: 25 − 10√11 + 11.
7. (√13 − 2√2)² = 21 − 4√26. По формуле: 13 − 4√26 + 8.
8. (3 − √5)² = 14 − 6√5. По формуле: 9 − 6√5 + 5.
9. (2√5 − √3)² = 23 − 4√15. По формуле: 20 − 4√15 + 3.

Полный ключ: вариант 3

1. (1 − 2√2)² = 9 − 4√2. Проверка: (1 − 2√2)(1 − 2√2) даёт тот же результат.
2. (√3 − √5)² = 8 − 2√15. Проверка: (√3 − √5)(√3 − √5) даёт тот же результат.
3. (6 − √2)² = 38 − 12√2. Проверка: (6 − √2)(6 − √2) даёт тот же результат.
4. (2√7 − 3)² = 37 − 12√7. Проверка: (2√7 − 3)(2√7 − 3) даёт тот же результат.
5. (√15 − √6)² = 21 − 6√10. Проверка: (√15 − √6)(√15 − √6) даёт тот же результат.
6. (3√2 − 2√5)² = 38 − 12√10. Проверка: (3√2 − 2√5)(3√2 − 2√5) даёт тот же результат.
7. (4 − √13)² = 29 − 8√13. Проверка: (4 − √13)(4 − √13) даёт тот же результат.
8. (√17 − 1)² = 18 − 2√17. Проверка: (√17 − 1)(√17 − 1) даёт тот же результат.
9. (5 − √14)² = 39 − 10√14. Проверка: (5 − √14)(5 − √14) даёт тот же результат.

Разбор ошибок и рекомендации для повторения

Первое правило диагностики: если ученик написал (2 − √7)² = 4 − 7, он применил не ту формулу. Нужно восстановить член −4√7, а второе слагаемое записать с плюсом: 4 − 4√7 + 7. Полезно показать расширенную запись (2 − √7)(2 − √7), где смешанные произведения −2√7 и −2√7 складываются.

Второе правило: квадрат числа с коэффициентом перед корнем включает квадрат коэффициента. Например, (2√3)² = 4 · 3 = 12, а не 2 · 3 = 6. При проверке работ подчеркните отдельно коэффициент и радикал, прежде чем возводить произведение в квадрат. Так ученику проще увидеть, где исчезает лишний множитель.

Третье правило: если после раскрытия скобок появились разные радикалы, это ещё не ошибка. В выражении (√3 − √5)² результат равен 8 − 2√15. Рациональная часть получается из 3 + 5, а радикальная — из удвоенного произведения √15. Объединять 8 и 2√15 нельзя, потому что это непохожие слагаемые.

Педагогический вариант оценки: 2 балла за каждый номер — один за правильные три части формулы, другой за точное упрощение. Максимум за вариант 18 баллов. Результат 16–18 соответствует уверенной работе, 12–15 требует проверки коэффициентов, менее 12 — повода заново разобрать два примера вместе с учителем.

Если ученик освоил первый вариант, но допускает ошибки во втором, не переходите сразу к третьему. Попросите устно назвать a и b в каждой скобке, вычислить a² и b² отдельно, и только затем найти 2ab. Такое разделение шагов эффективнее механической переписки всех готовых ответов.

Учителю удобно провести взаимопроверку: после сдачи листов ученики получают ключ с промежуточными преобразованиями, отмечают ошибку условным знаком «формула», «коэффициент» или «упрощение корня», а затем исправляют только два наиболее трудных номера. Благодаря разным числам в вариантах соседние ученики действительно решают независимые задачи.

В некоторых программах темы квадратных корней и формул сокращённого умножения проходят в разной последовательности. Работу стоит давать тогда, когда обе темы уже изучены. Для учащихся, испытывающих трудности, разрешите пользоваться напечатанной формулой, но не готовыми преобразованиями.

Развёрнутый разбор по типам заданий

Тип первый — целое число минус корень. Возьмём (4 − √3)². Квадрат первого слагаемого равен 16, квадрат второго равен 3, а удвоенное произведение равно 8√3. Следовательно, результат 19 − 8√3. Пропуск отрицательного среднего члена недопустим: при раскрытии двух одинаковых скобок возникают два смешанных произведения с минусом.

Тип второй — корень минус целое число. Рассмотрим (√11 − 2)²: сначала получаем 11, затем вычитаем 4√11, а в конце прибавляем 4. Итог 15 − 4√11. Слагаемые можно писать и в ином порядке, но без изменения знаков. Изменение порядка слагаемых в исходной разности не меняет её квадрат: (√11 − 2)² = (2 − √11)².

Тип третий — коэффициент перед корнем. В (2√3 − 1)² квадрат первого слагаемого равен 12, удвоенное произведение — 4√3, квадрат единицы — 1. Получается 13 − 4√3. Ученик часто пишет 6 вместо 12, если забывает возвести коэффициент 2 в квадрат. Правильно вычислять (2√3)² = 2² · 3.

Тип четвёртый — два разных корня. Например, (√7 − √2)² = 7 − 2√14 + 2 = 9 − 2√14. Нельзя объединять √7 и √2 в один радикал перед возведением в квадрат. Сначала выделяют слагаемые a и b, а затем работают по формуле.

Тип пятый — большие числовые коэффициенты. Раскроем (3 − 2√5)² = 9 − 12√5 + 20 = 29 − 12√5. Минус перед средним слагаемым остаётся даже тогда, когда числовая часть после сложения квадратов оказывается положительной и большой. Ответ можно проверить умножением исходного двучлена на себя.

Тип шестой — неупрощённый подкоренной множитель. В варианте 3 встречается выражение (1 − √8)². Можно сначала заменить √8 на 2√2: результат будет 1 − 4√2 + 8 = 9 − 4√2. Другой путь — временно оставить √8, получить 1 − 2√8 + 8 и только затем упростить среднее слагаемое. Оба способа верны, если окончательная запись совпадает.

Почему проверка знака помогает, но не заменяет вычисление

Результат квадрата разности неотрицателен, однако выражение 11 − 6√2 или 19 − 8√3 может визуально выглядеть так, будто отрицательная часть велика. Чтобы убедиться в знаке без десятичных приближений, можно сравнить положительные части по квадратам. Например, 11 > 6√2, потому что 121 > 72. Это подтверждает, что 11 − 6√2 положительно.

Однако проверка знака не доказывает, что весь ответ найден верно: выражение 12 − 6√2 тоже положительно, но это не квадрат (3 − √2)². Поэтому используйте её только как дополнительный контроль наряду с проверкой всех трёх членов формулы. При сомнении вернитесь к перемножению скобок, которое полностью воспроизводит исходное выражение.

Иногда средний член можно оставить в виде произведения корней, например −2√3√5, а иногда удобнее заменить его на −2√15. Для учителя обе записи являются математически равными, если результат точен. При оценивании важно различать несокращённую, но верную форму ответа и настоящую ошибку со знаком либо коэффициентом.

При выполнении полного набора из 27 заданий разумно чередовать работу с проверкой. После первых девяти примеров ученик отмечает тип ошибок, а второй вариант решает уже с конкретной целью: не терять среднее слагаемое или лучше контролировать коэффициенты. Третий вариант можно использовать для оценки переноса навыка в новых сочетаниях радикалов.

Подробная шкала для проверки трёх вариантов

Два балла за упражнение удобно разделить: первый ставится только тогда, когда правильно выписаны a², −2ab и b², второй — за точное приведение результата. Если формула записана правильно, но допущена арифметическая ошибка, ученик сохраняет один балл. Если окончательный ответ правильный, но промежуточная запись отсутствует, учитель может попросить устно объяснить правило, прежде чем ставить оба балла.

В первом варианте внимание сосредоточено на узнавании формулы. Во втором появляются большие коэффициенты и разные радикалы, поэтому полезно проверять отдельные произведения до их сложения. В третьем варианте стоит оценивать также качество записи: вынесен ли множитель из √8, не исчезли ли скобки, не смешаны ли целая и радикальная части.

При коллективном разборе выберите по одному ошибочному примеру каждого типа, не разбирая вслух все 27 номеров. Сначала покажите неверную промежуточную строку и попросите ученика назвать нарушенный шаг, затем восстановите правильную формулу. Такой приём экономит время и оставляет на дом только те упражнения, в которых был зафиксирован пробел.

Для самостоятельной коррекции полезен короткий чек-лист: «Названы a и b? Верно вычислены два квадрата? Есть ли член −2ab? Упрощены ли радикалы? Возможен ли полученный знак?» Проверяйте по нему каждое исправление, пока алгоритм не станет привычным.

Дополнительные образцы для анализа ошибок

Пусть ученик записал (√6 − 1)² = 6 − 1 = 5. Ошибка состоит в подмене квадрата разности разностью квадратов. Правильная запись: 6 − 2√6 + 1 = 7 − 2√6. Удобная проверка: результат должен равняться произведению (√6 − 1)(√6 − 1), в котором обязательно есть два смешанных слагаемых.

Если в выражении (4 − 3√2)² записано 16 − 12√2 + 18, ответ неверен, потому что среднее слагаемое должно равняться 2 · 4 · 3√2 = 24√2. Верная запись: 34 − 24√2. Это типичный случай, когда ученик нашёл произведение a · b, но забыл умножить его на 2.

Для (√10 − √3)² правильный ответ 13 − 2√30. Сравните его с ошибочной записью 13 − 2√13: нельзя складывать подкоренные числа при умножении квадратных корней. Произведение √10 · √3 равно √30, поскольку √a · √b = √(ab) для неотрицательных a и b.

Смешанные произведения особенно наглядны на числовом примере (3 − 2)²: слева равенство 1, справа по формуле 9 − 12 + 4 = 1. Если убрать среднее слагаемое, получится 13. Вернитесь к этому простому частному случаю, когда ученик сомневается, нужен ли член −2ab в выражениях с радикалами.

После проверки предложите ученику выбрать любой свой неправильный ответ и записать исправление по трём шагам: определить a и b, вычислить квадраты, выписать удвоенное произведение с нужным знаком. Новое решение сравните не только с ключом, но и с прямым перемножением исходных скобок. Это одновременно проверка и закрепление способа.