Квадрат суммы двух выражений — карточки по математике для 7 класса
7 класс · Алгебра · Материал для распечатки
Проверочная из 12 заданий с прозрачными критериями оценивания и четырьмя упражнениями для коррекции.
Содержание статьи9 разделов
Мини-проверочная по формуле квадрата суммы
Формула (A + B)² = A² + 2AB + B² позволяет быстро раскрывать квадрат суммы двух выражений. Средний член обязателен: (x + 4)² = x² + 8x + 16, а не x² + 16. Буквы A и B могут обозначать одночлены или целые выражения. Если A = x², а B = 3, то (x² + 3)² = x⁴ + 6x² + 9.
Вариант рассчитан на 15–20 минут. Первые восемь номеров проверяют прямое применение формулы, следующие четыре — восстановление пропуска и поиск ошибок. После мини-проверочной даны критерии, затем четыре корректирующих задания, если формула пока вызывает трудности. При изучении темы в разном порядке по программам РФ и Казахстана учитель может использовать карточки после введения формул сокращённого умножения.
Геометрическая подсказка: квадрат со стороной (a + b) состоит из квадрата a×a, двух прямоугольников a×b и квадрата b×b. Именно поэтому появляются три слагаемых, а не два. Если площадь фигуры измеряется в квадратных метрах, все полученные части также имеют единицы площади: это дополнительная проверка смысла формулы.
Частая ошибка — менять степень только у буквы, забывая коэффициент. Для (3x + 2)² крайние члены равны 9x² и 4, а средний — 12x. Проверяй последовательно: 3x·3x, два раза 3x·2, затем 2·2. В выражении (x² + 2)² старшая степень уже четвёртая; не путай квадрат выражения с удвоением его степени.
Один полезный ориентир: если в первой скобке нет отрицательных членов, а коэффициенты положительны, коэффициенты трёх членов квадрата тоже положительны. Это не отдельная формула, а следствие произведений A², 2AB и B². Проверяй его только там, где A и B действительно имеют неотрицательные числовые коэффициенты.
Часть для ученика
Часть А. Без подсказок
Раскрой квадрат суммы. Для каждого задания мысленно назови A и B, выпиши A², 2AB и B². Следи за степенями: квадрат x² равен x⁴.
- Вычисли: (x + 2)².
- Вычисли: (2a + 3)².
- Вычисли: (m + 5n)².
- Вычисли: (3y + 1)².
- Вычисли: (x² + 2)².
- Вычисли: (4p + q)².
- Вычисли: (2t + 3u)².
- Вычисли: (a + 2b²)².
Часть Б. Восстанови правило
- (x + 6)² = x² + □ + 36
- (3a + b)² = 9a² + □ + b²
- Верно ли: (2m + 1)² = 4m² + 1?
- Ученик написал (x + 3y)² = x² + 6xy + 3y². Исправь.
Критерии самостоятельной проверки
За каждый верно раскрытый квадрат в № 1–8 начисляется 2 балла: один за квадрат первого и последнего членов вместе, один за удвоенное произведение. За № 9–12 — по 1 баллу. Максимум 20 баллов. 18–20 означает уверенное владение формулой, 14–17 — небольшие ошибки, 10–13 — требуется повторение среднего члена, меньше 10 — рекомендуется выполнить корректирующую часть и попробовать новые примеры.
Для ответа на задания 11 и 12 достаточно не только указать правильный многочлен, но и одним предложением объяснить, откуда взялся пропущенный или неверно вычисленный член. Оценивать нужно математическую причину, а не длину объяснения.
Коррекция после проверки: 4 отдельные карточки
Эти четыре задания не входят в отметку за мини-проверочную. Их выполняют после разбора ключа: сначала исправляют одну строку, затем показывают перенос навыка на новую ситуацию.
- Исправь равенство: (x + 1)² = x² + 1.
- Раскрой (2a + 5)² и подчеркни удвоенное произведение.
- Заполни: (m + □)² = m² + 8m + 16.
- Квадратная площадка имеет сторону (x + 3) м. Вырази площадь многочленом и поясни три слагаемых.
Ответы и решения — для учителя и самостоятельной проверки
Ответы к мини-проверочной
- (x + 2)² = x² + 4x + 4.
- (2a + 3)² = 4a² + 12a + 9.
- (m + 5n)² = m² + 10mn + 25n².
- (3y + 1)² = 9y² + 6y + 1.
- (x² + 2)² = x⁴ + 4x² + 4.
- (4p + q)² = 16p² + 8pq + q².
- (2t + 3u)² = 4t² + 12tu + 9u².
- (a + 2b²)² = a² + 4ab² + 4b⁴.
- 12x
- 6ab
- Нет; пропущено 4m. Правильно 4m² + 4m + 1.
- x² + 6xy + 9y²; (3y)² = 9y².
Ключ к корректирующим карточкам
- x² + 2x + 1; при A = x, B = 1 средний член равен 2x.
- 4a² + 20a + 25; удвоенное произведение — 20a.
- 4; потому что 2·m·4 = 8m и 4² = 16.
- x² + 6x + 9 м²: квадрат x×x, два прямоугольника x×3 и квадрат 3×3.
Проверка за пределами алгоритма: подставь в формулу A = 2 и B = 1. Получаем (2 + 1)² = 9, а 2² + 2·2·1 + 1² = 9. Если средний член забыть, выйдет 5 — так видно, почему просто сложить два квадрата недостаточно. Затем попробуй A = x, B = 3 и проверь равенство при x = 0 и x = 1. Эти числовые проверки помогают искать ошибки, хотя доказательство формулы опирается на распределительное свойство.
Учителю полезно фиксировать не только общий балл, но и вид ошибки: нет среднего члена, неверно вычислен квадрат коэффициента, перепутаны степени. Для каждого вида предусмотрена подходящая коррекция: № 13 и № 15 — средний член; № 14 и № 16 — вычисление коэффициента и геометрическое объяснение.
В дополнительной работе можно попросить ученика придумать одну собственную сумму A + B и до раскрытия скобок предсказать три части результата. Например, A = 5k и B = 2: крайние члены 25k² и 4, средний — 20k. Если предсказанные три части дали верное равенство, шаг освоен; если нет, стоит вернуться к площади квадратной модели и проговорить, откуда берутся два одинаковых прямоугольника.
Для печати ученику удобно отдать первую часть до разделителя с ответами; ключи можно распечатать для учителя отдельными страницами. При работе дома сначала проверь крайние квадраты, затем средний член и лишь после этого сравни весь ответ. Если решение не сходится, полезнее восстановить ровно один неверный шаг, чем заново переписывать все примеры.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.