Линейное уравнение с одним модулем и двумя корнями — тренажёр по математике, 8 класс
Диагностика. Если |A| = 6, чему может равняться A? Верный ответ: 6 или −6. Если |A| = 0, получаем только A = 0. В этой карточке каждое уравнение специально имеет положительную правую часть и ненулевой коэффициент при x, поэтому у него ровно два различных корня.
Содержание статьи5 разделов
Алгоритм в три строки
Для |ax + b| = c при c > 0 и a ≠ 0 составь два уравнения: ax + b = c и ax + b = −c. Реши их отдельно, затем подставь полученные значения в исходную запись. Модуль не может быть отрицательным.
Образец: |2x − 7| = 5 означает 2x − 7 = 5 или 2x − 7 = −5. Отсюда x = 6 или x = 1; проверка: |12 − 7| = 5 и |2 − 7| = 5.
12 задач для самостоятельной диагностики
Решай в тетради, выписывая обе ветви уравнения. Если получились два корня, расположи их по возрастанию.
- |x − 4| = 7
- |2x + 3| = 9
- |3x − 5| = 4
- |x/2 + 1| = 5
- |4 − 3x| = 2
- |(x + 2)/3| = 4
- |5x − 1| = 12
- |7 − 2x| = 3
- |0,5x − 2| = 1,5
- |(2x − 1)/4| = 3/2
- |3x + 6| = 15
- |(x − 5)/2| = 7/2
Лист самопроверки
| № | Корни | Краткое обоснование |
|---|---|---|
| 1 | x = −3 или 11 | x − 4 = −7 либо 7; проверка: оба расстояния до 4 равны 7. |
| 2 | x = −6 или 3 | 2x + 3 = −9 либо 9; получаем −6 и 3. |
| 3 | x = 1/3 или 3 | 3x − 5 = −4 либо 4; оба значения после подстановки дают модуль 4. |
| 4 | x = −12 или 8 | x/2 + 1 = −5 либо 5; умножаем на 2. |
| 5 | x = 2/3 или 2 | 4 − 3x = 2 либо −2; деление на −3 меняет знак частного. |
| 6 | x = −14 или 10 | (x + 2)/3 = ±4, значит x + 2 = ±12. |
| 7 | x = −11/5 или 13/5 | 5x − 1 = −12 либо 12; делим обе части на 5. |
| 8 | x = 2 или 5 | 7 − 2x = 3 либо −3; подстановка: |3| = |−3| = 3. |
| 9 | x = 1 или 7 | 0,5x − 2 = −1,5 либо 1,5; затем делим на 0,5. |
| 10 | x = −5/2 или 7/2 | 2x − 1 = ±6, откуда 2x = −5 или 7. |
| 11 | x = −7 или 3 | 3x + 6 = −15 либо 15; корни различны. |
| 12 | x = −2 или 12 | x − 5 = −7 либо 7; проверка даёт 7/2 в обоих случаях. |
Три ошибки, которые искажают ответ
- Теряется отрицательная ветвь. Из |x − 4| = 7 нельзя оставлять только x − 4 = 7: значение −7 тоже имеет модуль 7.
- Забывают скобки. Для |4 − 3x| = 2 отрицательная ветвь — именно 4 − 3x = −2, а не 4 + 3x = 2.
- Неверно обращаются с дробями. Уравнение |(x + 2)/3| = 4 даёт x + 2 = ±12, а не ±4/3. Проверяй делением на 3.
Оценка: по одному баллу за полностью найденную пару и ещё одному — за корректную проверку на выбор в трёх задачах. Максимум 15 баллов. Если потеряна одна ветвь, повтори алгоритм перед следующей тренировкой.
Почему корни не совпадают
Для |ax + b| = c при a ≠ 0 и c > 0 корни определяются формулами x = (c − b)/a и x = (−c − b)/a. Разность этих дробей равна 2c/a, то есть не равна нулю. Отсюда следует, что в нашей диагностике всегда получаются две различные точки. Если же c = 0, получится единственная точка x = −b/a; при c < 0 решений не существует. Для этой карточки такие случаи не включены в задания, потому что отрабатывается именно поиск двух корней.
При проверке стоит подставлять оба найденных числа, а не только большее. Например, для |5x − 1| = 12 значение −11/5 даёт выражение −12, а значение 13/5 даёт 12. Оба числа дают модуль 12. Это хороший способ понять, что отрицательное выражение под модулем не делает корень «неправильным».
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.