Логарифм числа как показатель степени — карточки по математике для 10 класса

Обучающий маршрут: от степени к логарифму

Для 10 класса. Темп изучения показательных и логарифмических выражений в программах России и Казахстана различается: используйте задания после прохождения соответствующих правил. Внутри материала сначала расположен ученический вариант, затем отдельный ключ для проверки.

Запись log_a b = c означает ровно одно: a^c = b. Число c — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Существуют условия a > 0, a ≠ 1, b > 0. Если хотя бы одно нарушено, обычный действительный логарифм не определён.

Пример для разминки: log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. А log₂ (1/8) = −3, поскольку 2⁻³ = 1/8. Знак минус относится к показателю, а не к результату возведения в степень.

Контрольная точка № 1 — целые показатели

В пунктах 1–4 не используйте калькулятор. Сначала мысленно найдите подходящую степень, затем перепишите определение логарифма как равенство со степенью.

1. log₂ 32 = ______; объяснение: ____________________.
2. log₃ (1/27) = ______; объяснение: ____________________.
3. log₅ 1 = ______; объяснение: ____________________.
4. log₁₀ 0,01 = ______; объяснение: ____________________.

Контрольная точка № 2 — дробные основания и показатели

В заданиях 5–10 аккуратно обращайтесь с дробными и отрицательными показателями. Полезно задать себе вопрос: «Какая степень данного основания даст ровно число справа?» Обратите внимание, что логарифм может быть отрицательным, хотя его аргумент положителен.

1. log₄ 2 = _______
2. log_1/2 8 = _______
3. log₉ 27 = _______
4. log_1/3 9 = _______
5. log₇ (1/49) = _______
6. log₁₆ 4 = _______

Финишный тест — три новых случая

После выполнения № 11–14 самостоятельно проверьте каждое значение обратной операцией: возведите основание в найденную степень. Для диагностики спросите ученика, чем различаются выражения log₂(−8) и log₂(1/8).

1. log_1/4 (1/16) = _______
2. log₂ (√2) = _______
3. log₂₅ 5 = _______
4. log_1/5 125 = _______

Отдельный ключ с обоснованием

1. log₂ 32 = 5, поскольку 2⁵ = 32.
2. log₃ (1/27) = −3, поскольку 3⁻³ = 1/27.
3. log₅ 1 = 0, поскольку 5⁰ = 1.
4. log₁₀ 0,01 = −2, поскольку 10⁻² = 0,01.
5. log₄ 2 = 1/2, поскольку 4^1/2 = 2.
6. log_1/2 8 = −3, поскольку (1/2)⁻³ = 8.
7. log₉ 27 = 3/2, поскольку 9^3/2 = 27.
8. log_1/3 9 = −2, поскольку (1/3)⁻² = 9.
9. log₇ (1/49) = −2, поскольку 7⁻² = 1/49.
10. log₁₆ 4 = 1/2, поскольку 16^1/2 = 4.
11. log_1/4 (1/16) = 2, поскольку (1/4)² = 1/16.
12. log₂ (√2) = 1/2, поскольку 2^1/2 = √2.
13. log₂₅ 5 = 1/2, поскольку 25^1/2 = 5.
14. log_1/5 125 = −3, поскольку (1/5)⁻³ = 125.

Критерий: логарифм найден — 1 балл; показано верное степенное равенство — ещё 1 балл. Максимум за 14 примеров — 28 баллов. Неверно: log₂(−8) = −3; корректно: log₂(1/8) = −3. Аргумент логарифма обязан быть строго положительным.

Что означает основание меньше единицы

Основание логарифма вовсе не обязано быть натуральным числом больше единицы. Например, log_1/2 8 = −3: действительно, (1/2)⁻³ = 8. А log_1/2(1/4) = 2, потому что (1/2)² = 1/4. Для такого основания большему аргументу соответствует меньший показатель; это связано с убыванием показательной функции.

При основании больше единицы положительный показатель даёт число больше единицы, отрицательный — число между нулём и единицей. Так, log₅25 = 2 и log₅(1/25) = −2. Нуль получается при аргументе 1 независимо от допустимого основания: a⁰ = 1. Отсюда log_a1 = 0 для любого a > 0, a ≠ 1.

Контроль на смысл: выражения log₂0 и log₂(−4) не существуют в действительных числах; выражение log₀2 также недопустимо, потому что основание должно быть положительным и не равным единице. Даже если ученик помнит таблицу степеней, перед вычислением логарифма обязательно проверяются оба условия.

Взаимная проверка в паре: один ученик читает вслух логарифм, второй формулирует равносильное степенное равенство. Затем меняются ролями. Такой способ обнаруживает ошибки в основании, дробном показателе и в самом определении понятия.