Логарифм степени в вычислительных заданиях: задания с ответами для 10 класса

Карточка рассчитана на десятый класс и помогает отличить смысл логарифма от механического переноса показателя степени. Основной приём: если a > 0, a ≠ 1 и x > 0, то log_a(x^k) = k·log_a(x). Он работает и для отрицательного целого показателя при положительном x. Перед преобразованием проверьте, что исходное выражение определено.

Вопросы на понимание — ответьте до вычислений

Почему log₂(2⁵) = 5? По определению логарифма мы ищем степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 32. В выражении log₃((1/3)⁴) = −4 знак минус появляется потому, что 1/3 = 3⁻¹. Наконец, при log₅(25³) сначала замечаем 25 = 5², затем получаем 2·3 = 6.

Вычислительные карточки — 14 заданий

Работайте без калькулятора: в каждом пункте найдите степень основания, затем умножьте показатели. Отрицательные показатели и нулевая степень требуют особого внимания. Запишите хотя бы одно промежуточное преобразование. Порядок задач подобран так, чтобы в начале применить правило прямо, а затем увидеть случаи с дробями и отрицательными показателями.

1. Вычислите log₂((4)³). Ответ: __________.
2. Вычислите log₃((9)³). Ответ: __________.
3. Вычислите log₅((25)²). Ответ: __________.
4. Вычислите log₁₀((1/10)³). Ответ: __________.
5. Вычислите log₂((1/4)³). Ответ: __________.
6. Вычислите log₂((2)⁶). Ответ: __________.
7. Вычислите log₃((3)⁴). Ответ: __________.
8. Вычислите log₃((1/27)²). Ответ: __________.
9. Вычислите log₇((7)⁰). Ответ: __________.
10. Вычислите log₂((16)²). Ответ: __________.
11. Вычислите log₃((27)⁻²). Ответ: __________.
12. Вычислите log₅((1/5)⁻³). Ответ: __________.
13. Вычислите log₂((4)⁵). Ответ: __________.
14. Вычислите log₃((1/9)²). Ответ: __________.

Два задания с объяснением границ формулы

Здесь важно не только число в ответе, но и корректность самого преобразования. Если меняете знак показателя либо переносите его перед логарифмом, отдельно укажите условия положительности подлогарифмического выражения.

15. Найдите натуральное n, если log₂(4ⁿ) = 10. Ответ: __________.
16. Можно ли записать log₂((−4)²) как 2·log₂(−4)? Найдите значение исходного выражения. Ответ: __________.

Ключ с объяснениями к каждому номеру

1. 6. Основание 2 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 4 = 2². Поэтому логарифм равен 2·(3) = 6.
2. 6. Основание 3 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 9 = 3². Поэтому логарифм равен 2·(3) = 6.
3. 4. Основание 5 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 25 = 5². Поэтому логарифм равен 2·(2) = 4.
4. −3. Основание 10 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 1/10 = 10⁻¹. Поэтому логарифм равен −1·(3) = −3.
5. −6. Основание 2 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 1/4 = 2⁻². Поэтому логарифм равен −2·(3) = −6.
6. 6. Основание 2 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 2 = 2¹. Поэтому логарифм равен 1·(6) = 6.
7. 4. Основание 3 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 3 = 3¹. Поэтому логарифм равен 1·(4) = 4.
8. −6. Основание 3 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 1/27 = 3⁻³. Поэтому логарифм равен −3·(2) = −6.
9. 0. Основание 7 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 7 = 7¹. Поэтому логарифм равен 1·(0) = 0.
10. 8. Основание 2 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 16 = 2⁴. Поэтому логарифм равен 4·(2) = 8.
11. −6. Основание 3 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 27 = 3³. Поэтому логарифм равен 3·(−2) = −6.
12. 3. Основание 5 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 1/5 = 5⁻¹. Поэтому логарифм равен −1·(−3) = 3.
13. 10. Основание 2 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 4 = 2². Поэтому логарифм равен 2·(5) = 10.
14. −4. Основание 3 допустимо, внутренняя дробь/число положительна: 1/9 = 3⁻². Поэтому логарифм равен −2·(2) = −4.
15. n = 5. Так как 4 = 2², логарифм равен 2n. Уравнение 2n = 10 даёт n = 5.
16. нет; исходное значение 4. В квадрате получается 16, поэтому log₂16 = 4. Но log₂(−4) не существует в действительных числах: перенос показателя невозможен без положительного основания степени.

Критерии самопроверки

За задания 1–14 поставьте по одному баллу за значение и ещё один за объяснение в виде степени основания; за 15–16 — по два балла за правильный вывод и обоснование. Максимум 32 балла. Если потерян знак у отрицательного показателя, повторите правило a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Если ошиблись в последнем пункте, проверьте область определения: log₂(−4) не определён, хотя log₂((−4)²) определён. Учитель может использовать задания 1–8 как быстрый устный контроль, а 9–16 как письменную работу.

Полезный способ проверки: возведите основание логарифма в найденную степень. Например, если ответ равен −6 при основании 3, получится 3⁻⁶ = 1/729. Этот контроль работает и тогда, когда ответ отрицательный, но исходное число под логарифмом положительно.