Логарифмические неравенства с основанием больше единицы — проверочная работа, 10 класс

Для a > 1 функция log_at строго возрастает. Поэтому log_aF(x) > log_aG(x) означает F(x) > G(x), если оба аргумента положительны. При сравнении log_aF(x) с числом c получаем F(x) > a^c, но исходную ОДЗ тоже нужно учитывать.

Таблица переходов и граничных точек

Образец: log₃(2x + 1) ≤ 2. Необходимо 2x + 1 > 0 и 2x + 1 ≤ 9. Вместе получаем −1/2 < x ≤ 4. Равенство при x = 4 допустимо, а x = −1/2 не допускается из-за log₃0.

Как отличить строгую границу от нестрогой

Упражнение log₄(7 − x) < 1 иллюстрирует две разные причины исключения граничных точек. При x = 3 значение логарифма равно 1 и не удовлетворяет строгому знаку «меньше». При x = 7 аргумент равен нулю, логарифм не существует. Поэтому правильный ответ — 3 < x < 7: обе точки открыты, но по разным основаниям.

Иная ситуация в log₅(x + 6) ≥ 1. При x = −1 значение аргумента равно 5 и логарифм равен 1, поэтому точка включена: x ≥ −1. При x = −6 аргумент равен нулю и выражение не определено. Как видим, проверять нужно именно исходную запись, а не только знак после алгебраического преобразования.

В задачах с квадратным аргументом допускаются два несвязанных интервала решения. Для log₂(x² − 4) ≤ 3 сперва требуется x < −2 либо x > 2. Затем из x² − 4 ≤ 8 получаем −2√3 ≤ x ≤ 2√3. Пересечение даёт [−2√3; −2) ∪ (2; 2√3]. Закрытые границы определяются не картинкой, а строгими условиями.’

Задания I уровня: прямой переход

1. log₂(x − 1) > 3.
2. log₅(x + 6) ≥ 1.
3. log₄(7 − x) < 1.
4. log₃(x − 2) ≤ 0.
5. log₂(5 − 2x) ≥ 2.
6. log₅(3x − 1) < 0.

Задания II уровня: составные аргументы

1. log₂(x² − 1) > 2.
2. log₂(x² − 4) ≤ 3.
3. log₇(2 − x) > 0.
4. log₅(x²) > 1.
5. log₂((x + 1)/(x − 3)) ≥ 0.

Задания III уровня: сравнение двух логарифмов

1. log₂(x + 4) > log₂(2x − 1).
2. log₃(3x + 2) ≥ log₃(x + 6).
3. log₂(x − 5) ≤ log₂(4x − 10).
4. log₃((x − 2)/(x + 1)) < 0.
5. log₂(x² − 9) ≥ log₂7.

Ключ, включая граничные точки

Проверьте знак на числовой прямой

Если после преобразования получилась дробь, например 4/(x − 3) ≥ 0, обязательно выясните знак знаменателя. Числитель 4 строго положителен, поэтому дробь положительна только при x > 3; равенства нулю не бывает. Значение x = 3 исключено как точка разрыва. Такое исследование знака надёжнее, чем умножение на неизвестный по знаку знаменатель.

В упражнениях со сравнением логарифмов не забудьте проверить оба аргумента: для log₂(x + 4) > log₂(2x − 1) нужна ОДЗ x > 1/2. Одного решения x < 5 недостаточно: например, x = 0 удовлетворяет этому неравенству, но справа возникает log₂(−1), которого в действительных числах нет.

Сравнение двух логарифмов особенно удобно тогда, когда основания одинаковы и больше единицы. Например, log₃(3x + 2) ≥ log₃(x + 6) сводится к 3x + 2 ≥ x + 6, откуда x ≥ 2. Но до сравнения нужны условия 3x + 2 > 0 и x + 6 > 0. Полученный луч x ≥ 2 полностью лежит в этой области, следовательно лишних точек нет.

Напротив, в задании III–1 промежуточное неравенство x < 5 охватывает отрицательные числа, хотя аргумент 2x − 1 должен быть положительным. Пересечение с x > 1/2 превращает формальную полуось в ограниченный интервал (1/2; 5). Здесь проверяется умение отбирать допустимые значения, а не только переносить слагаемые.

Шкала самопроверки

На каждое неравенство выделите два пункта: один за верное преобразование и один за точные границы с учётом ОДЗ. Максимум 32 балла. Ошибками считаются не только неверные числа, но и закрытие точки, в которой аргумент равен нулю, либо изменение направления неравенства при основании больше единицы.

Важно различать тему этой проверочной и логарифмы с основанием от нуля до единицы: там направление знака при сравнении аргументов меняется. Здесь все основания больше единицы, поэтому переворачивать знак нельзя.