Логарифмические уравнения с переменной в основании для 10 класса — упражнения с разбором

Здесь неизвестное входит в основание логарифма. Поэтому перед переходом к степени нужно проверить не только аргумент, но и само основание: a(x) > 0, a(x) ≠ 1; аргумент b(x) > 0. Значение логарифма определяется равенством log_a(x)b(x) = c ⇔ a(x)^c = b(x) на этой ОДЗ.

Вступительная задача и два способа решения

Решим log_x16 = 2. Способ через степень: x > 0, x ≠ 1, x² = 16, кандидаты x = 4 и x = −4. Второй недопустим, ответ 4. Способ через рассуждение: основание логарифма в квадрате должно давать 16, причём оно положительно; значит оно равно 4. Оба способа дают одинаковый ответ, но первый лучше показывает, где появляется лишний корень.

Обратите внимание: из log_x1 = 0 следует не x = 1, а все допустимые основания, поскольку x⁰ = 1 при x > 0. Это распространённая ловушка.

Два метода — сравнение на составном примере

Для log_x−18 = 3 сначала ОДЗ: x − 1 > 0, x − 1 ≠ 1. По определению (x − 1)³ = 8, значит x − 1 = 2, x = 3. Прямая подстановка даёт log₂8 = 3. Можно также рассмотреть монотонность куба положительного числа, но без ОДЗ такой довод неполон.

Для log_x+2(x + 8) = 2 получаем x > −2, x ≠ −1, x + 8 > 0. Равенство (x + 2)² = x + 8 приводит к x² + 3x − 4 = 0, то есть x = 1 либо −4. Допустимо только 1: log₃9 = 2.

Почему нельзя терять основание при возведении в степень

Логарифмическое уравнение с переменным основанием обычно даёт алгебраическое уравнение, у которого корней больше, чем у исходного. Причина понятна на примере log_x(1/16) = −2: после обращения степени к дроби получаем x² = 16, но при x = −4 запись log₋₄(1/16) не является действительным логарифмом. Условие x > 0 здесь проверяется не в конце формально, а определяет весь смысл вычисления.

Бывает, что из уравнения исчезает неизвестное. В log_x(x²) = 2 основное тождество даёт x² = x². Однако нельзя отвечать «все действительные числа». Остаётся ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. При x = 1 основание логарифма недопустимо, при x = 0 аргумент равен нулю. Это не одна найденная точка, а целое допустимое множество.

Для примера log_x−2(x + 4) = 2 обязательно учитывать сразу три ограничения: x − 2 > 0, x − 2 ≠ 1, x + 4 > 0. Они сокращаются до x > 2, x ≠ 3. После квадратного уравнения x(x − 5) = 0 корень 0 исключается, а 5 сохраняется. Проверка log₃9 = 2 завершает решение.

Рабочий лист: сначала ОДЗ, затем решение

В каждом пункте выпишите область допустимых значений отдельно. Если значение уравнения не определено, не заменяйте его произвольным числом. Упражнения 1–8 — базовые, 9–14 — составные, 15–17 — ловушки на количестве решений.

1. log_x9 = 2.
2. log_x8 = 3.
3. log_x(1/16) = −2.
4. log_x4 = −2.
5. log_2x25 = 2.
6. log_x27 = 3.
7. log_x16 = 4.
8. log_x4 = 1.
9. log_x(x + 6) = 2.
10. log_x−2(x + 4) = 2.
11. log_x(x − 2) = 0.
12. log_x−116 = 2.
13. log_x+39 = 2.
14. log_x(x²) = 2.
15. log_x1 = 2.
16. log_x+11 = 0.
17. log_xx = 1.

Проверенные ответы и отбор кандидатов

1. x = 3. ОДЗ x > 0, x ≠ 1; x² = 9, отрицательное −3 запрещено.
2. x = 2. x³ = 8, x > 0.
3. x = 4. x⁻² = 1/16 ⇒ x² = 16; знак основания положительный.
4. x = 1/2. x⁻² = 4 ⇒ x² = 1/4, допустим только положительный корень.
5. x = 5/2. Основание 2x > 0 и 2x ≠ 1; (2x)² = 25.
6. x = 3. x³ = 27.
7. x = 2. x⁴ = 16; основание строго положительно.
8. x = 4. x¹ = 4.
9. x = 3. ОДЗ x > 0, x ≠ 1; x² = x + 6 ⇒ x = 3 или −2, берём 3.
10. x = 5. ОДЗ x > 2, x ≠ 3; (x − 2)² = x + 4 ⇒ x = 0 либо 5.
11. x = 3. Аргумент x − 2 равен 1 при нулевом логарифме; ОДЗ x > 2.
12. x = 5. ОДЗ x > 1, x ≠ 2; (x − 1)² = 16 ⇒ x = 5 либо −3.
13. x = 0. ОДЗ x > −3, x ≠ −2; (x + 3)² = 9 ⇒ x = 0 либо −6.
14. Все x > 0, x ≠ 1. И аргумент x² > 0, и определение логарифма выполняется.
15. Нет решений. Равенство x² = 1 даёт ±1, но −1 не положительно, а 1 запрещено как основание.
16. Все x > −1, x ≠ 0. log_a1 = 0 для любого допустимого a = x + 1.
17. Все x > 0, x ≠ 1. log_xx = 1 по определению.

В какой последовательности лучше решать такие уравнения

Первый шаг — обозначить основание и аргумент, не смешивая их. Например, для log_x+11 = 0 основание равно x + 1, аргумент постоянно равен 1; поскольку log_a1 = 0 при любом допустимом основании, искомое множество — x > −1, x ≠ 0. Второй шаг — перейти к степени без округлений. Третий шаг — проверить кандидатов по ОДЗ. Если решение состоит из интервала, а не отдельных корней, этот интервал нужно записать явно.

Нельзя безоговорочно применять операции, которые меняют область определения. Например, возведение основания в чётную степень скрывает знак: как числа 3 и −3 имеют одинаковый квадрат, но только положительное 3 может служить основанием действительного логарифма. Избавление от логарифма без первоначальных ограничений — типичная причина неправильного ответа.

Мини-проверка на понимание основания

Представьте, что ученик решил log_x4 = −2 и получил x = −1/2. Формально он рассуждал так: x⁻² = 4, следовательно x² = 1/4 и x = ±1/2. Ошибка заключена в последнем шаге: отрицательное основание недопустимо. После проверки ОДЗ остаётся только x = 1/2. Дополнительно 1/2 ≠ 1, так что логарифм определён.

В логарифме с основанием x + 1 запрет основания 1 превращается в условие x ≠ 0. В логарифме с основанием 2x — в x ≠ 1/2. Эта точка может вовсе не быть корнем итогового алгебраического уравнения, но её всё равно необходимо обозначить в ОДЗ перед преобразованиями. Алгоритм позволяет работать с любой линейной функцией в основании без догадок.

Осторожно с четвёртой степенью: из x⁴ = 16 следует x = ±2, но когда x является основанием, берём положительный вариант. Этот принцип действует даже при четвёртой, шестой и любой чётной степени. Если же x входит в аргумент, требования будут другими — например, аргумент x² положителен при любом x ≠ 0, но основание всё равно проверяется отдельно.

Ловушки и критерии

Нельзя писать x = ±4 в упражнении 3: даже отрицательный корень квадратного уравнения не может быть основанием действительного логарифма. Нельзя писать x = 1 в упражнениях 14–17, поскольку log₁ не существует. Наконец, при основаниях x − 2, x + 1 не забудьте исключить те значения x, которые делают основание равным единице.

Проверка выполнена полностью, если для каждого пункта есть три части: исходная ОДЗ, уравнение по определению логарифма и ответ после подстановки. В отличие от темы с переменной только в аргументе, здесь условие на основание является главным навыком.