Логарифмические уравнения с разностью логарифмов: задачи и решения для 10 класса

Предмет тренажёра: разность логарифмов с одинаковым основанием. Преобразование log_aA − log_aB = log_a(A/B) допустимо лишь при A > 0, B > 0, a > 0, a ≠ 1. После решения обязательно проверяют исходную дробь и оба аргумента.

Короткая памятка перед тремя сериями

Из log_aA(x) − log_aB(x) = c получаем A(x)/B(x) = a^c, но с исходной ОДЗ. Даже если дробь положительна при двух отрицательных числителе и знаменателе, исходные логарифмы от таких чисел не существуют.

Образец: log₂(x + 4) − log₂x = 1. ОДЗ x > 0; (x + 4)/x = 2, x = 4. Проверяем log₂8 − log₂4 = 3 − 2 = 1.

Серия I — готовый алгоритм: 6 заданий

1. log₃(x + 6) − log₃x = 1.
2. log₅(x + 12) − log₅x = 1.
3. log₂(x + 6) − log₂(x − 2) = 2.
4. log₃(x + 5) − log₃(x − 1) = 2.
5. log₂(x − 2) − log₂(x + 2) = −1.
6. log₄(x + 9) − log₄(x − 3) = 1.

Серия II — ложные корни и особые случаи: 6 заданий

1. log₁₀(2x + 3) − log₁₀(x + 1) = 0.
2. log₂(x − 4) − log₂(x − 1) = 0.
3. log₂(3x) − log₂x = log₂3.
4. log₅(x + 1) − log₅(x + 6) = 0.
5. log₃(x + 1) − log₃(x − 2) = 1.
6. log₂(x + 1) − log₂(2x + 1) = −1.

Серия III — более длинные преобразования: 6 заданий

1. log₂(x − 1) − log₂(x + 3) = −2.
2. log₃(2x + 1) − log₃(x + 2) = 1.
3. log₂(x + 1) − log₂(x − 1) = 3.
4. log₅(x + 4) − log₅(x + 2) = 0.
5. log₂(x + 7) − log₂(x − 1) = 2.
6. log₂(x + 3) − log₂(x + 1) = 1.

Три разобранных затруднения

Первое затруднение — знак результата. Если log₂(x − 2) − log₂(x + 2) = −1, то частное равно 2⁻¹ = 1/2, а не −2. Следовательно, 2(x − 2) = x + 2 и x = 6. Подстановка: log₂4 − log₂8 = 2 − 3 = −1.

Второе затруднение — деление на выражение с неизвестным. В заданиях данного листа знаменатель B(x) положителен по ОДЗ. Поэтому умножение равенства A/B = a^c на B законно и не теряет решений. Если B(x) = 0, исходный второй логарифм вообще не определён, и эта точка не рассматривается. Не сокращайте множители до записи ограничений.

Третье затруднение — тождество. Из log₂(3x) − log₂x = log₂3 следует 3x/x = 3. Это верно при x > 0, но неверно утверждать «при любом x»: при x = 0 оба логарифма не определены, а при x < 0 аргументы отрицательные. Полный ответ — именно положительная полуось.

Ключ к трём сериям: краткие вычисления и ОДЗ

Маршрут проверки готовой работы

Сначала просмотрите только условия допустимости: для двух линейных аргументов найдите пересечение двух полуосей. Затем сравните полученную дробь со степенью основания. Последним шагом подставьте кандидата в исходную разность: при правильном ответе логарифмы должны существовать и давать именно указанное число. Не пытайтесь заменять разность логарифмом разности аргументов — такой формулы нет.

Упражнения II–1 и III–2 специально дают формальный корень вне ОДЗ; задания II–2 и II–4 дают невозможное числовое равенство; упражнения II–3 — тождество на всей ОДЗ. Эти три исхода нужно различать. Для проверки оценки попросите ученика пояснить причину невозможности: противоречие в преобразованном равенстве и противоречие ОДЗ — разные ошибки.

Разберём, как записывать ответ в случае отсутствия решения. В упражнении II–1 после перехода к частному получается (2x + 3)/(x + 1) = 1, то есть x = −2. Но при этом 2x + 3 = −1 и x + 1 = −1. Частное этих отрицательных чисел положительно, однако оба исходных логарифма не существуют. Отсюда не «корень −2», а «действительных решений нет».

Если в задаче левая часть превращается в log₂3 и справа записано то же значение, получаем тождество только на исходной области определения. В упражнении II–3 это x > 0; при x = 0 сокращение 3x/x вообще незаконно. Проверяйте всегда не только равенство чисел, но и допустимость каждого логарифма.

Самоконтроль

За каждое задание — по одному баллу за верную ОДЗ, по одному за уравнение без логарифмов и по одному за отбор решения. Всего 54 балла. Если найденный x обращает хотя бы один аргумент в нуль, его обязательно исключают.

Не смешивайте умения: это тренажёр именно по частному аргументов. В уравнениях с суммой вместо деления используется произведение, поэтому механическое применение этого правила приведёт к другой задаче.