Логарифмические уравнения с суммой двух логарифмов: примеры и объяснения для 10 класса

Сумма логарифмов превращается в логарифм произведения, но только при положительности обоих исходных аргументов. Это правило позволяет свести уравнение к алгебраическому, однако не отменяет проверку каждого найденного корня.

Наблюдение: одна и та же формула, разные области определения

Сравните log₂(x − 2) + log₂(x + 2) = 3 и log₂(x² − 4) = 3. Алгебраически выражения связаны правилом произведения, однако в первом уравнении требуется x > 2. Во втором достаточно x < −2 либо x > 2. Если забыть это различие, можно добавить посторонний корень.

Проверяем на первом уравнении: (x − 2)(x + 2) = 8, откуда x² = 12, x = ±2√3. В первое уравнение подходит только 2√3. Корень −2√3 попадает в область x < −2, но делает оба исходных аргумента отрицательными.

Гипотеза и доказательство метода

Гипотеза: для любого a > 0, a ≠ 1, уравнение log_aF(x) + log_aG(x) = c равносильно системе F(x) > 0, G(x) > 0, F(x)G(x) = a^c.

Проверка: при двух положительных аргументах верно log_aF + log_aG = log_a(FG). Показательная функция со строго положительным основанием, отличным от единицы, принимает каждое положительное значение ровно один раз; поэтому log_a(FG) = c тогда и только тогда, когда FG = a^c. Обратный переход верен на исходной ОДЗ.

Три исследовательских примера

Пример A. log₂x + log₂(x − 2) = 3. ОДЗ: x > 2. Из x(x − 2) = 8 следует x = 4 либо −2; остаётся 4. Проверка: log₂4 + log₂2 = 2 + 1 = 3.

Пример Б. log₃(x − 1) + log₃(x + 1) = 2. ОДЗ: x > 1. Из x² − 1 = 9 следует x = ±√10; допустимо только √10.

Пример В. log₂x + log₂(8/x) = 3. ОДЗ: x > 0, и произведение аргументов равно 8. Равенство верно при любом x > 0 — здесь бесконечно много решений.

Наблюдайте, что меняется при другой постановке

Если заменить сумму разностью, получим логарифм частного — это уже другой тип задачи. Здесь сохраняем именно сложение двух логарифмов одинакового основания и анализируем произведение и пересечение областей определения. Нельзя распространять правило на разные основания без предварительного преобразования.

Как самостоятельно проверить гипотезу на пограничном случае

Нарисуйте на числовой прямой два множества: точки, где F(x) > 0, и точки, где G(x) > 0. ОДЗ — их пересечение. После решения уравнения F(x)G(x) = a^c пометьте найденные кандидаты на той же прямой. Допустимы только точки из пересечения. Если пересечение пусто, дальнейшее вычисление уравнения не требуется.

Полезная проверка: в уравнении log₂(x − 4) + log₂(6 − x) = 0 область 4 < x < 6. Даже если решить произведение без ограничений, оба фактора на этом промежутке положительны. Их произведение имеет максимум 1 при x = 5; поэтому единственный корень — точка максимума. Такой подход использует математическое наблюдение, а не только формальное раскрытие скобок.

Противоположный случай: в уравнении log₁₀(x − 1) + log₁₀(1 − x) = 0 требования x > 1 и x < 1 несовместимы. Любые корни уравнения для произведения не имеют значения: исходное выражение не определено ни при одном действительном x. Понимание пустой ОДЗ экономит вычисления и помогает не допустить посторонних корней.

Наконец, когда произведение аргументов постоянно равно степени основания, уравнение может иметь целый интервал решений. Именно это показывают задания 13 и пример с произведением x · (8/x). Предварительная проверка ОДЗ отличает правильный ответ «любое положительное x» от бессмысленной записи «решений бесконечно много» без указания множества.

Самостоятельное исследование: 15 упражнений

Для каждого уравнения сначала выпишите два строгих неравенства ОДЗ. Затем получите алгебраическое уравнение, решите его и подставьте ответ в исходную запись. Отметьте случаи с пустым либо бесконечным множеством решений.

1. log₅x + log₅(x + 4) = 1.
2. log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 2.
3. log₄x + log₄(x − 3) = 1.
4. log₃(x + 2) + log₃(x − 2) = 2.
5. log₂(2x) + log₂(x − 1) = 3.
6. log₅(x − 4) + log₅x = 1.
7. log₁₀(x − 1) + log₁₀(1 − x) = 0.
8. log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 2.
9. log₃x + log₃(9x) = 3.
10. log₂(x − 5) + log₂(x + 1) = 4.
11. log₄(x − 2) + log₄(x + 2) = 2.
12. log₃(x − 3) + log₃x = 1.
13. log₂x + log₂(2/x) = 1.
14. log₂(x − 4) + log₂(6 − x) = 0.
15. Объясните, почему из log₃(x − 7) + log₃(5 − x) = 1 нельзя получить действительный корень даже до раскрытия скобок.

Ответы, допустимые корни и проверка

1. x = 1. ОДЗ x > 0; x(x + 4) = 5, корни 1 и −5, второй исключён.
2. x = 2 + √5. ОДЗ x > 3; (x − 1)(x − 3) = 4 даёт 2 ± √5, подходит плюс.
3. x = 4. ОДЗ x > 3; x(x − 3) = 4 даёт 4 и −1.
4. x = √13. ОДЗ x > 2; x² − 4 = 9.
5. x = (1 + √17)/2. ОДЗ x > 1; 2x(x − 1) = 8, отрицательный корень исключён.
6. x = 5. ОДЗ x > 4; x(x − 4) = 5.
7. Решений нет. Одновременно x − 1 > 0 и 1 − x > 0 невозможно.
8. x = −1 + 2√2. ОДЗ x > 1; (x + 3)(x − 1) = 4; другой корень меньше единицы.
9. x = √3. ОДЗ x > 0; 9x² = 27.
10. x = 7. ОДЗ x > 5; (x − 5)(x + 1) = 16.
11. x = 2√5. ОДЗ x > 2; x² − 4 = 16.
12. x = (3 + √21)/2. ОДЗ x > 3; x(x − 3) = 3.
13. Все x > 0. Произведение x · (2/x) постоянно равно 2 и оба аргумента положительны.
14. x = 5. ОДЗ 4 < x < 6; (x − 4)(6 − x) = 1 означает −(x − 5)² + 1 = 1.
15. Решений нет. Требования x > 7 и x < 5 противоречат друг другу.

Проверка на контрпримерах

Проверьте неверное утверждение «если F(x)G(x) > 0, то оба логарифма определены». Контрпример: F(x) = −2 и G(x) = −4. Произведение равно 8, его логарифм существует, однако log₂(−2) и log₂(−4) по отдельности в действительных числах не определены. Поэтому одного неравенства FG > 0 недостаточно.

В исследовательской работе полезно сначала угадать количество корней на основе ОДЗ, а потом подтвердить гипотезу. При x > 3 выражение x(x − 3) растёт от нуля до бесконечности, поэтому равенство x(x − 3) = 4 имеет ровно один допустимый корень. Аналогично при x > 2 функция (x − 1)(x − 3) сначала не определена для исходных логарифмов; фактически здесь ОДЗ x > 3, где произведение возрастает от нуля. Этот аргумент дополняет стандартную алгебраическую проверку.

Ещё один полезный эксперимент: замените в упражнении 2 правую часть 2 на 0. Тогда (x − 1)(x − 3) = 1, откуда x = 2 ± √2. Однако на ОДЗ x > 3 подходит только x = 2 + √2. Изменение правой части существенно меняет кандидатов, но правило отбора допустимых значений остаётся прежним. Именно это и означает проверенная гипотеза: метод работает для любых положительных аргументов и любого действительного c при допустимом основании.

Вывод и критерий самостоятельной работы

При сложении логарифмов задача не заканчивается равенством произведения: каждый исходный аргумент обязан быть строго положительным. Полный ответ включает ОДЗ, преобразование, найденные кандидаты и объяснение их допустимости. Для проверки оцените отдельно получение произведения, правильное решение и отбор корней.

Короткая памятка учителю: в упражнениях 7 и 15 ученики должны заметить пустую ОДЗ, а в 13 — бесконечность решений. Это диагностирует понимание логарифма лучше, чем одни квадратные уравнения.