Математическое ожидание дискретной случайной величины: пошаговые задания для 11 класса

Быстрая проверка: что означает математическое ожидание

Для дискретной случайной величины X с возможными значениями x₁, x₂, … и вероятностями p₁, p₂, … среднее рассчитывается по формуле E(X)=x₁p₁+x₂p₂+…. Перед умножением проверьте, что вероятности неотрицательны и их сумма равна 1. Значения с вероятностями удобно читать как пары «исход (вероятность)».

Математическое ожидание — не предсказание результата следующего опыта и не обязательно один из возможных исходов. При большом числе независимых одинаково организованных опытов среднее значение может приближаться к E(X); для одной попытки такой гарантии нет.

Мини-тест: выбрать способ, вычислить, объяснить

Время на работу — 20–25 минут. Выполняйте задания сначала без ключа. В пунктах 1–5 определите корректность распределения и способ вычисления; в 6–10 считайте средневзвешенную величину; в 11–16 объясняйте смысл ответа.

1. 1. Билетный автомат: значения X и вероятности в скобках — 0 (3/5), 50 (2/5). Найдите среднюю выплату за одну попытку. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена. Варианты ответа: А) 21, Б) 20, В) 19, Г) 22.
2. 2. Складские заявки: значения X и вероятности в скобках — 1 (1/4), 3 (1/2), 5 (1/4). Найдите среднее число коробок. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена. Варианты ответа: А) 4, Б) 2, В) 3, Г) 5.
3. 3. Погрешность датчика: значения X и вероятности в скобках — -2 (1/5), 0 (3/5), 2 (1/5). Можно ли считать среднюю погрешность нулевой? Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
4. 4. Прогноз поездок: значения X и вероятности в скобках — 0 (1/8), 1 (3/8), 2 (3/8), 3 (1/8). Вычислите математическое ожидание числа поездок. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена. Варианты ответа: А) 3/2, Б) 5/2, В) 1/2, Г) 7/2.
5. 5. Купоны кафе: значения X и вероятности в скобках — 0 (1/2), 10 (2/5), 30 (1/10). Вычислите ожидаемую сумму баллов. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена. Варианты ответа: А) 8, Б) 6, В) 9, Г) 7.
6. 6. Очки за упражнение: значения X и вероятности в скобках — -1 (1/6), 2 (1/2), 4 (1/3). Найдите ожидаемую оценку в очках. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
7. 7. Количество брака: значения X и вероятности в скобках — 0 (7/10), 1 (1/5), 2 (1/10). Найдите среднее число дефектных деталей. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
8. 8. Награда игры: значения X и вероятности в скобках — 1 (1/2), 4 (1/4), 9 (1/4). Найдите ожидаемую награду. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
9. 9. Заказы мастерской: значения X и вероятности в скобках — 1 (1/5), 2 (1/2), 6 (3/10). Вычислите математическое ожидание. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
10. 10. Бонус магазина: значения X и вероятности в скобках — -10 (1/5), 0 (3/5), 25 (1/5). Среднее изменение баланса: выигрыш или проигрыш? Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
11. 11. Очки двух исходов: значения X и вероятности в скобках — 2 (3/4), 8 (1/4). Сравните ожидание с самым вероятным исходом. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
12. 12. Премии группы: значения X и вероятности в скобках — 100 (1/4), 200 (1/2), 500 (1/4). Может ли ожидание не быть отдельным возможным исходом? Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
13. 13. Длительность загрузки: значения X и вероятности в скобках — 2 (1/2), 3 (1/4), 7 (1/4). Определите среднее время. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
14. 14. Продажа открыток: значения X и вероятности в скобках — 0 (1/3), 2 (1/3), 4 (1/3). Как изменится ожидание, если все значения увеличить на 2? Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
15. 15. Случайные баллы: значения X и вероятности в скобках — -3 (1/4), 1 (1/2), 5 (1/4). Найдите среднее, учитывая отрицательный исход. Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.
16. 16. Ошибочная таблица: значения X и вероятности в скобках — 0 (1/5), 5 (3/10), 10 (2/5). Можно ли рассчитать ожидание как для корректного распределения? Запишите ответ с единицей измерения, если она предусмотрена.

Лист самопроверки

Ответы и пояснения

1. 1. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (0)·3/5 + (50)·2/5 = 20 руб.. Верный вариант — Б.
2. 2. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (1)·1/4 + (3)·1/2 + (5)·1/4 = 3 коробок. Верный вариант — В.
3. 3. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (-2)·1/5 + (0)·3/5 + (2)·1/5 = 0 делений. Положительные и отрицательные ошибки взаимно компенсируются; нулевое ожидание не означает нулевую ошибку в каждом измерении.
4. 4. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (0)·1/8 + (1)·3/8 + (2)·3/8 + (3)·1/8 = 3/2 поездок. Верный вариант — А.
5. 5. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (0)·1/2 + (10)·2/5 + (30)·1/10 = 7 баллов. Верный вариант — Г.
6. 6. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (-1)·1/6 + (2)·1/2 + (4)·1/3 = 13/6 очков.
7. 7. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (0)·7/10 + (1)·1/5 + (2)·1/10 = 2/5 деталей.
8. 8. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (1)·1/2 + (4)·1/4 + (9)·1/4 = 15/4 жетонов.
9. 9. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (1)·1/5 + (2)·1/2 + (6)·3/10 = 3 заказов.
10. 10. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (-10)·1/5 + (0)·3/5 + (25)·1/5 = 3 руб.. Ожидаемое изменение положительно: возможна средняя прибавка, хотя отдельная попытка может принести убыток.
11. 11. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (2)·3/4 + (8)·1/4 = 7/2 очков. Самый вероятный исход — 2 очка (вероятность 3/4), он не обязан совпадать с E(X)=7/2.
12. 12. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (100)·1/4 + (200)·1/2 + (500)·1/4 = 250 руб.. Ожидание — средневзвешенная величина, она не обязана быть одним из перечисленных исходов.
13. 13. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (2)·1/2 + (3)·1/4 + (7)·1/4 = 7/2 сек..
14. 14. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (0)·1/3 + (2)·1/3 + (4)·1/3 = 2 шт.. После прибавления 2 к каждому значению новое ожидание равно 4 шт.: E(X+2)=E(X)+2.
15. 15. Условие согласовано: сумма вероятностей равна 1. E(X) = (-3)·1/4 + (1)·1/2 + (5)·1/4 = 1 баллов.
16. 16. Сумма вероятностей равна 2/10 + 3/10 + 4/10 = 9/10, а должна быть 1. Таблица неполная: сначала нужно выяснить вероятность недостающего исхода и его значение; корректного E(X) по этой таблице определить нельзя.

Три частые ошибки

• Складывают исходы без весов: (0+10+30)/3 неверно, если вероятности не одинаковые.
• Заменяют отрицательные значения нулём. Убыток и отрицательная погрешность входят в сумму со знаком минус.
• Принимают сумму вероятностей меньше единицы за нормальную: прежде чем вычислять, выясните, что произошло с неучтёнными исходами.