Математика, 10 класс: логарифмические уравнения с проверкой ОДЗ — тренажёр

В логарифмических уравнениях недостаточно найти корни преобразованного алгебраического уравнения: каждый результат должен удовлетворять области допустимых значений (ОДЗ). Если уравнение имеет вид log_aA = log_aB, можно перейти к A = B только после проверки A > 0 и B > 0. Для суммы логарифмов log_aA + log_aB = log_a(AB) условие положительности каждого слагаемого сохраняется.

Схема самостоятельной работы

Разобранный пример: log₂(x − 2) + log₂(x − 1) = 1. Условия x − 2 > 0 и x − 1 > 0 дают x > 2. После объединения логарифмов: (x − 2)(x − 1) = 2, то есть x² − 3x = 0. Получаем x = 0 и x = 3, но первый корень отбрасываем: при x = 0 оба подлогарифмических выражения отрицательны. Ответ x = 3.

Ученический лист: 14 уравнений

Запишите ОДЗ рядом с каждым заданием, а ниже — кандидаты и итоговый ответ. № 1–6 относятся к базовому уровню, № 7–10 требуют внимательной проверки нескольких корней, № 11–14 служат итоговым контролем. Решайте без калькулятора; допускается оставлять ответ с √2 в точном виде.

1. Решите уравнение: log₂(x − 1) = 3. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
2. Решите уравнение: log₃(2x + 1) = 2. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
3. Решите уравнение: log₅(10 − x) = 1. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
4. Решите уравнение: log_1/2(x + 1) = −2. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
5. Решите уравнение: log₂(x − 3) = log₂(2x − 7). Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
6. Решите уравнение: log₃(x + 5) = log₃(2x + 1). Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
7. Решите уравнение: log₂(x² − 4) = 2. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
8. Решите уравнение: log₄((x − 1)²) = 1. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
9. Решите уравнение: log₂(x − 2) + log₂(x − 1) = 1. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
10. Решите уравнение: log₃x + log₃(x − 2) = 1. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
11. Решите уравнение: log₂(x + 1) = log₂(5 − x). Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
12. Решите уравнение: log₁₀(2x − 1) = 0. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
13. Решите уравнение: log₂(x² − 1) = 3. Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.
14. Решите уравнение: log₅(3x − 4) = log₅(x + 2). Сначала укажите ОДЗ. Ответ: __________.

Ключ учителю и самостоятельная проверка

1. x = 9. ОДЗ: x > 1. x − 1 = 8, значит x = 9. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
2. x = 4. ОДЗ: x > −1/2. 2x + 1 = 9, откуда x = 4. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
3. x = 5. ОДЗ: x < 10. 10 − x = 5, откуда x = 5. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
4. x = 3. ОДЗ: x > −1. x + 1 = (1/2)⁻² = 4, поэтому x = 3. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
5. x = 4. ОДЗ: x > 7/2. x − 3 = 2x − 7, поэтому x = 4. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
6. x = 4. ОДЗ: x > −1/2. x + 5 = 2x + 1, следовательно x = 4. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
7. x = −2√2 или 2√2. ОДЗ: x < −2 или x > 2. x² − 4 = 4, значит x² = 8 и оба корня удовлетворяют ОДЗ. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
8. x = −1 или 3. ОДЗ: x ≠ 1. (x − 1)² = 4, получаем x − 1 = ±2, оба корня допустимы. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
9. x = 3. ОДЗ: x > 2. (x − 2)(x − 1) = 2 ⇒ x(x − 3) = 0. Корень 0 не удовлетворяет ОДЗ, остаётся 3. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
10. x = 3. ОДЗ: x > 2. x(x − 2) = 3 ⇒ (x − 3)(x + 1) = 0. Корень −1 недопустим. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
11. x = 2. ОДЗ: −1 < x < 5. x + 1 = 5 − x, откуда x = 2. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
12. x = 1. ОДЗ: x > 1/2. 2x − 1 = 10⁰ = 1, получаем x = 1. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
13. x = −3 или 3. ОДЗ: x < −1 или x > 1. x² − 1 = 8, поэтому x = ±3; оба подходят. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.
14. x = 3. ОДЗ: x > 4/3. 3x − 4 = x + 2, следовательно x = 3. Подстановка решения в исходное уравнение допустима.

Шкала и коррекция ошибок

По два балла за номер: один — за верное алгебраическое преобразование, второй — за правильную ОДЗ и окончательный ответ. Максимум 28. Ошибки особенно показательны в № 9 и № 10: алгебраическое уравнение даёт два числа, но только одно допустимо для исходных логарифмов. Если ученик сохранил постороннее значение, предложите ему найти не числовой ответ, а отрицательный аргумент логарифма при проверке.

Короткий контроль перед сдачей: есть ли уравнения, где под логарифмом стоит квадрат? Да, при этом квадрат может обращаться в ноль и соответствующая точка исключается. Можно ли считать логарифмы двух разных оснований одинаковыми при одинаковом аргументе? Нет. Почему две логарифмические записи с одинаковым допустимым основанием можно приравнять по аргументам? Логарифмическая функция строго монотонна, то есть взаимно однозначна на положительной полуоси.