Математика, 5 класс: изображение правильных дробей на числовом луче — тренажёр

Класс: 5. Назначение: лист для урока, самостоятельной работы и домашнего повторения. Ответы находятся в конце материала, отдельно от заданий.

На числовом луче единичный отрезок — расстояние от 0 до 1, принятое за целое. Чтобы отметить дробь a/b (здесь 0 < a < b), разделите этот отрезок на b равных частей и отсчитайте от нуля a частей. Отрезки обязательно равны; расстояние не обязано измеряться целым числом сантиметров.

Диагностика: умеем ли делить единицу?

Сначала проверьте, что ученик отличает количество равных частей от номера нужной отметки. Например, в дроби 3/5 знаменатель 5 показывает, на сколько равных частей делим расстояние от 0 до 1, а числитель 3 — сколько таких частей откладываем вправо.

0 ──|──|──|──|── 1
    1  2  3  4
(четыре промежуточные отметки: 5 равных частей)

1. Разделите отрезок 0–1 на 4 равные части. Какая дробь соответствует третьей отметке после 0?
2. На единичном отрезке 5 равных частей. Какая дробь стоит на второй отметке после 0?
3. Отрезок разделён на 6 равных частей. На какой по счёту отметке от 0 находится 4/6?
4. Чтобы отметить 5/8, на сколько частей делят отрезок и сколько частей отсчитывают от нуля?
5. Если шаг сетки — одна десятая, какое значение у седьмой отметки после нуля?

Карточка 1. От изображения к записи

Точки на схематическом луче можно нанести в тетради на линии 0–1; подпишите 0 и 1. Не путайте промежуточные отметки с количеством частей: при делении на 8 частей между концами 0 и 1 будет 7 внутренних отметок.

6. Разделите единичный отрезок на 7 равных частей. Отметьте 3-ю отметку после 0 и подпишите дробь.
7. Разделите единичный отрезок на 9 равных частей. Отметьте 4-ю отметку после 0 и подпишите дробь.
8. Разделите единичный отрезок на 10 равных частей. Отметьте 1-ю отметку после 0 и подпишите дробь.
9. Разделите единичный отрезок на 12 равных частей. Отметьте 7-ю отметку после 0 и подпишите дробь.
10. Разделите единичный отрезок на 8 равных частей. Отметьте 5-ю отметку после 0 и подпишите дробь.
11. Разделите единичный отрезок на 6 равных частей. Отметьте 1-ю отметку после 0 и подпишите дробь.
12. Разделите единичный отрезок на 5 равных частей. Отметьте 4-ю отметку после 0 и подпишите дробь.
13. Разделите единичный отрезок на 11 равных частей. Отметьте 8-ю отметку после 0 и подпишите дробь.

Карточка 2. Две точки на одном луче

Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями не нужно превращать их в десятичные: правее находится точка с большим числителем. На чертеже проверьте, что правая точка действительно дальше от 0.

14. Постройте на одном луче точки 2/7 и 5/7. Какая из дробей расположена правее? Укажите направление сравнения.
15. Постройте на одном луче точки 7/10 и 3/10. Какая из дробей расположена правее? Укажите направление сравнения.
16. Постройте на одном луче точки 4/9 и 8/9. Какая из дробей расположена правее? Укажите направление сравнения.
17. Постройте на одном луче точки 1/6 и 5/6. Какая из дробей расположена правее? Укажите направление сравнения.
18. Постройте на одном луче точки 5/12 и 11/12. Какая из дробей расположена правее? Укажите направление сравнения.
19. Постройте на одном луче точки 3/8 и 6/8. Какая из дробей расположена правее? Укажите направление сравнения.
20. Постройте на одном луче точки 2/5 и 4/5. Какая из дробей расположена правее? Укажите направление сравнения.
21. Постройте на одном луче точки 3/11 и 9/11. Какая из дробей расположена правее? Укажите направление сравнения.

Карточка 3. Найди неверную отметку и объясни

22. Луч поделен на 8 равных частей. Ученик поставил 3/8 на четвёртом делении после 0. Исправьте ошибку.
23. При делении отрезка на 6 частей ученица называет вторую отметку 2/5. Как правильно?
24. На отрезке 0–1 девять равных шагов. Десятая отметка после 0 обозначена 10/9. Может ли эта точка лежать внутри единичного отрезка?
25. На луче с делением на 10 равных частей ученик утверждает, что 8/10 левее 6/10. Прав ли он?
26. Разделили единицу на 7 частей. Ученица считала отметки начиная с 1, а не с 0. Где на самом деле точка 4/7?
27. На одинаковом луче отмечены 3/8 и 5/8. Сколько восьмых разделяет эти точки?
28. На луче 0–1 с 12 равными шагами отметили 11/12. Сколько шагов остаётся до 1?

Учительская проверка: что оценивать

• У точки 0 всегда нулевой номер шага. У точки 1 номер шага совпадает со знаменателем — это важная контрольная точка.
• Правильные дроби имеют числитель меньше знаменателя; точки таких дробей лежат строго между 0 и 1.
• Для дробей с разными знаменателями не меняйте длину единицы между рисунками без предупреждения: единичный отрезок должен обозначать одно и то же целое.
• Не требуйте упрощения дробей, если отрабатывается именно размещение по отметкам: 4/8 и 1/2 — одна точка, но разные способы записи.

Диагностический маршрут: если ошибки в первых пяти вопросах, повторите смысл знаменателя. Если первые задания решены, но неверно сравнение точек, потренируйте направление «правее — больше». Если затруднение только в последних пунктах, предложите ученику чертить отметки и подписывать их последовательно.

Как распечатать: распечатайте страницу до раздела «Ответы и проверка», а ключ оставьте себе. Поля для вычислений ученик может вести в тетради. Для проверки сначала сравните способ решения, затем число.

Ответы и проверка (для учителя и родителя)

1. 3/4.
2. 2/5.
3. На четвёртой отметке.
4. На 8 равных частей; отсчитывают 5.
5. 7/10.
6. 3/7; 3-я отметка после нуля.
7. 4/9; 4-я отметка после нуля.
8. 1/10; 1-я отметка после нуля.
9. 7/12; 7-я отметка после нуля.
10. 5/8; 5-я отметка после нуля.
11. 1/6; 1-я отметка после нуля.
12. 4/5; 4-я отметка после нуля.
13. 8/11; 8-я отметка после нуля.
14. 5/7 правее; 2/7 < 5/7.
15. 7/10 правее; 7/10 > 3/10.
16. 8/9 правее; 4/9 < 8/9.
17. 5/6 правее; 1/6 < 5/6.
18. 11/12 правее; 5/12 < 11/12.
19. 6/8 правее; 3/8 < 6/8.
20. 4/5 правее; 2/5 < 4/5.
21. 9/11 правее; 3/11 < 9/11.
22. 3/8 ставят на третьем делении; ученик показал 4/8.
23. 2/6: знаменатель равен числу равных частей (6).
24. Нет. Девятая отметка совпадает с 1, а десятая находится правее 1; 10/9 не является правильной дробью.
25. Нет. 8/10 правее 6/10; при одинаковом знаменателе сравнивают числители.
26. Четвёртое деление справа от 0, а не четвёртое справа от 1.
27. 5/8 − 3/8 = 2/8, то есть два шага по 1/8.
28. 1 шаг, так как 12/12 − 11/12 = 1/12.

Рекомендуемое правило оформления: одна общая прямая на пару дробей, подписанные 0 и 1, одинаковые интервалы и аккуратно обозначенные точки. При печати рисунки удобно выполнять на клетчатой бумаге или в тетради; длина единицы может быть 6, 8, 10 или 12 клеток в зависимости от знаменателя.

Наглядность без сложного чертежа: три правила точности

Первое правило: расстояние между соседними отметками должно быть одинаковым. В задании с десятыми удобно взять единицу длиной 10 клеток, а в задании с четвертями — длиной 8 клеток и откладывать по 2 клетки. Но нельзя нарисовать длинный первый шаг и короткие остальные, а затем считать точки равноудалёнными: изображение потеряет математический смысл.

Второе правило: на одном отрезке седьмые доли и восьмые доли не отмечают как будто деления одинаковые. Если знаменатель 7, то точка 3/7 получается после третьего из семи одинаковых шагов. Для знаменателя 8 нужен другой шаг. При желании сравнивать доли с разными знаменателями придётся дополнительно искать общие деления, но в этой карточке достаточно уверенно изображать правильные дроби и сравнивать доли одного вида.

Третье правило: правильная дробь не доходит до единицы. Если число делений равно знаменателю, ученик попал точно в 1, а не в правильную дробь. Неправильные дроби можно откладывать дальше, вправо от единицы, однако основной навык этой работы — безошибочно размещать точки между 0 и 1. Обсудите с ребёнком, почему дробь 5/6 правее 1/6, даже если он пока не знает алгоритмов действий с обыкновенными дробями.