Математика, 6 класс: нахождение всех делителей заданного числа — тренажёр

Эта тренировка для 6 класса учит находить все положительные делители натурального числа, а не несколько первых. Работа начинается с понимания определения, затем переходит к систематическому перебору пар и заканчивается задачами из практики. Задания 1–28 можно выполнять по частям; готовые решения находятся отдельно после всей ученической части.

Перед началом: как ничего не пропустить

Положительное число d является делителем n, если n делится на d без остатка. Число 1 и само n всегда входят в список. Поиск удобно вести парами: если 24 : 3 = 8, то одновременно найдены делители 3 и 8. Для 24 пары имеют вид 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6. Отсюда полный список: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Полезный способ убедиться в полноте — искать пары до того момента, когда первый множитель становится больше второго. Каждая следующая пара после этого лишь повторяет предыдущую в обратном порядке. Если число является квадратом, например 36 = 6 · 6, средний множитель включают один раз. В 6 классе этот способ доступен и без формулы с квадратным корнем.

Вопросы на понимание: объясни, не угадывая

Для заданий 1–6 достаточно одного-двух предложений. Учитель оценивает смысл объяснения, а не употребление сложных терминов.

1. Что означает «d — делитель числа n»? Допишите фразу через деление без остатка.
2. Объясните, почему 1 — делитель каждого натурального числа.
3. Почему у числа 17 только два положительных делителя? Назовите их.
4. Верно ли, что 0 может быть положительным делителем числа 24? Объясните.
5. В чём отличие задачи «найти все делители 24» от задачи «найти первые пять кратных 24»?
6. Если число делится на 6, обязано ли оно делиться на 2 и 3? Приведите довод.

Печатная карточка: составляем полные списки

В заданиях 7–16 пользуйтесь черновиком с двумя столбцами: первый множитель и парный множитель. Затем перенесите все найденные делители в одну строку в порядке возрастания. Остановиться на делителях 1, 2 и 3 недостаточно: почти во всех этих числах есть более крупные делители.

7. Перечислите все положительные делители числа 12 по возрастанию.
8. Найдите все положительные делители числа 18 и сгруппируйте их в пары по произведению.
9. Выпишите все делители числа 20 и отметьте самые большие два.
10. Найдите все делители 24; проверьте делитель 8 делением.
11. Найдите все положительные делители числа 28.
12. Найдите все делители числа 30 и объясните, почему число 7 не входит в список.
13. Перечислите делители числа 36. Почему 6 не нужно повторять дважды?
14. Найдите делители числа 40, упорядочив по возрастанию.
15. Перечислите все делители числа 45. Почему 4 отсутствует?
16. Найдите все положительные делители числа 48, используя пары.

Методическая пауза: две проверки списка

Первая проверка — умножение: каждая пара найденных множителей должна давать исходное число. Вторая — полнота: например, для 48 нельзя ограничиться парами 1 · 48, 2 · 24 и 3 · 16; есть также 4 · 12 и 6 · 8. Отсортированный список особенно удобен для быстрой проверки соседних ответов. Нечётное число может иметь только нечётные делители, если ни одна двойка не входит в его разложение.

Работа над пропусками и количеством делителей

Задания 17–24 выполняются после того, как полные списки получаются уверенно. Сначала используйте уже известный метод пар. Затем, если умеете работать со степенями простых множителей, примените правило: у числа 2^a · 3^b число положительных делителей равно (a + 1) · (b + 1). Здесь каждый показатель можно выбрать независимо от нуля до максимального.

17. Заполните два пропуска в списке делителей 42: 1, 2, 3, □, 7, 14, □, 42.
18. В списке делителей 32 даны 1, 2, 4, 8, □, 32. Допишите число и объясните.
19. Проверьте список для 27: 1, 3, 9, 27, 81. Найдите лишний элемент.
20. Сколько положительных делителей имеет 16? Выпишите их.
21. Сколько положительных делителей у числа 60? Найдите их и проверьте число вариантов.
22. У числа 72 разложение 2³ · 3². Сколько положительных делителей? Поясните правило подсчёта.
23. Верно ли утверждение «у любого простого числа ровно два положительных делителя»? Примените его к 29.
24. Число 50 разложено как 2 · 5². Перечислите все делители и проверьте их количество.

Почему формула работает? Например, делитель 72 = 2³ · 3² может содержать 0, 1, 2 или 3 двойки и 0, 1 или 2 тройки. Это четыре выбора для двойки и три для тройки; всего 4 · 3 = 12 различных делителей. Если формула пока не изучена по программе, достаточно проверить тот же ответ явным списком: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

Практические ситуации

Для заданий 25–28 важно явно назвать, что именно является делителем: размер стопки, число предметов в комплекте или длина стороны прямоугольной сетки. Не переносите автоматически ответ из одной ситуации в другую — единицы измерения и смысл вопроса меняются.

25. У учителя 24 одинаковые карточки. На какие размеры равных стопок их можно разложить без остатка? Укажите все размеры стопки.
26. 36 карандашей надо раздать в одинаковые комплекты без остатка. Какие возможны количества карандашей в одном комплекте?
27. На прямоугольной сетке 30 клеток. Какие возможны длина и ширина в целых положительных клетках? Укажите пары без учёта поворота.
28. В коробке 64 кубика. Можно ли разложить их в 6 одинаковых рядов без остатка? А в 8? Объясните по делителям.

Перед проверкой подчеркните в своём решении 1 и исходное число. Затем проверьте парность всех остальных делителей: произведения пар должны совпадать. Для практических пунктов сделайте одно контрольное деление без остатка. Не допускайте нулевых и дробных размеров стопок или рядов.

Ответы и объяснения: отделены от задания ученику

Понимание определения (1–6)

1. d — положительный делитель n, когда n : d — натуральное число без остатка.
2. Для любого натурального n верно n : 1 = n без остатка.
3. 17 простое; его положительные делители 1 и 17.
4. Нет: рассматриваются положительные делители; деление на ноль не определено.
5. Делители 24 — конечный список положительных чисел, на которые 24 делится без остатка; кратные — числа вида 24 · k, их бесконечно много.
6. Да: если n = 6k, то n = 2 · (3k) = 3 · (2k), следовательно число делится и на 2, и на 3.

Полные списки делителей (7–16)

7. 1, 2, 3, 4, 6, 12.
8. 1, 2, 3, 6, 9, 18; пары: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6.
9. 1, 2, 4, 5, 10, 20; два самых больших — 10 и 20.
10. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; 24 : 8 = 3.
11. 1, 2, 4, 7, 14, 28.
12. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; на 7 число 30 без остатка не делится.
13. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; пара 6 · 6 даёт один делитель 6, не два разных.
14. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
15. 1, 3, 5, 9, 15, 45; 45 : 4 не целое.
16. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Пропуски и число делителей (17–24)

17. 6 и 21: 42 = 6 · 7 = 2 · 21.
18. 16: 32 : 16 = 2, поэтому 16 делитель.
19. 81 — лишнее: оно больше 27 и 27 на 81 не делится.
20. Пять делителей: 1, 2, 4, 8, 16.
21. 12 делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
22. 12 делителей: (3 + 1) · (2 + 1) = 12; выбирают показатель двойки 0–3 и тройки 0–2.
23. Да, для положительного простого числа; у 29 делители 1 и 29.
24. 1, 2, 5, 10, 25, 50; их шесть, потому что (1 + 1) · (2 + 1) = 6.

Практические задачи (25–28)

25. Размеры стопки: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 карточки. Каждый размер делит 24.
26. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 карандашей. Для любого такого размера число комплектов целое.
27. Пары сторон: 1 × 30, 2 × 15, 3 × 10, 5 × 6; повороты не считаются новыми.
28. В 6 рядов нельзя: 64 : 6 даёт остаток 4. В 8 рядов можно: по 8 кубиков.

Критерии самостоятельного контроля

• Полнота: каждый делитель найден и не повторяется. Для квадратов средний делитель записан только один раз.
• Верность: любое число в списке делит исходное без остатка; особенно проверены непривычные большие делители.
• Способ: пары делителей выписаны систематически, а не случайно; в задачах 22 и 24 правило подсчёта подтверждено примерами.
• Практика: число комплектов, рядов и сторон — натуральное; ответ соответствует смыслу истории, а не просто является числом.

При проверке можно начислить по одному баллу за задания 1–28. Если ученик ошибся только из-за неполного списка, дайте ему повторить подбор пар для 36 или 48. Если в списке оказались кратные вместо делителей, вернитесь к вопросу 5. Для краткой диагностики выберите задания 1, 7, 13, 17, 21, 25, 27 и 28 — они охватывают разные уровни навыка.

Родителям: не торопитесь подсказывать каждый делитель. Лучше спросите «какую пару ты уже нашёл?» и «когда пары начнут повторяться?». Это помогает ребёнку построить проверяемый алгоритм. Учителю: количество делителей по степеням можно дать как дополнительный материал, если в конкретной программе РФ или Казахстана эта формула ещё не изучалась.