Математика, 6 класс: умножение двух отрицательных чисел — тренажёр

Числовая лаборатория: два отрицательных множителя

Исследуем, что происходит со знаком и модулем произведения. Известное правило: произведение двух отрицательных чисел положительно. Важно не путать это правило со сложением двух отрицательных чисел, при котором сумма отрицательна. Здесь выполняется умножение, а не складывание.

Сначала вычисляйте произведение модулей так, будто множители положительные. Затем возвращайте знак, опираясь на количество отрицательных множителей: два минуса при умножении дают плюс. Пример: (−6) × (−4) = 24, потому что 6 × 4 = 24.

Опыт 1. Постоянный второй множитель

Сравните результаты первых четырёх строк. Второй множитель равен −3, а модуль первого возрастает на 2. Поэтому произведение увеличивается на 6. В следующих четырёх строках второй множитель равен −5, и увеличение модуля первого на 2 приводит к росту произведения на 10. Изменение второго множителя изменяет шаг в закономерности.

Опыт 2. Равенство произведений при перестановке множителей

9. Заполните ячейку: (−12) × (−4) = □. Перед ответом укажите знак.
10. Заполните ячейку: (−13) × (−4) = □. Перед ответом укажите знак.
11. Заполните ячейку: (−15) × (−4) = □. Перед ответом укажите знак.
12. Заполните ячейку: (−20) × (−4) = □. Перед ответом укажите знак.
13. Заполните ячейку: (−3) × (−14) = □. Перед ответом укажите знак.
14. Заполните ячейку: (−14) × (−3) = □. Перед ответом укажите знак.
15. Заполните ячейку: (−16) × (−6) = □. Перед ответом укажите знак.
16. Заполните ячейку: (−6) × (−16) = □. Перед ответом укажите знак.

Посмотрите на пары 13 и 14, а также 15 и 16. Перестановка множителей не меняет результат: a × b = b × a. Это свойство работает и с отрицательными числами. При этом обе записи должны давать положительное произведение. Если знаки различаются, хотя множители лишь поменяли местами, в одном вычислении ошибка.

Опыт 3. Четыре контрольных произведения

17. Заполните ячейку: (−25) × (−8) = □. Перед ответом укажите знак.
18. Заполните ячейку: (−8) × (−25) = □. Перед ответом укажите знак.
19. Заполните ячейку: (−18) × (−12) = □. Перед ответом укажите знак.
20. Заполните ячейку: (−24) × (−15) = □. Перед ответом укажите знак.

Выводы лаборатории

• При двух отрицательных множителях ответ положителен; это правило не зависит от того, являются ли числа равными.
• Модуль произведения равен произведению модулей множителей. Его можно проверить таблицей умножения или разложением одного множителя на сумму.
• Перестановка множителей сохраняет произведение. Это полезная быстрая проверка для строк с парными числами.
• Не переносите правило умножения на сложение и вычитание: для этих действий знаки рассматриваются иначе.

Как объяснить закономерность ученику

Предположим, второй множитель равен −3. Если первый множитель меняется с −2 на −4, а затем на −6, произведения будут соответственно 6, 12 и 18. Увеличение модуля первого множителя на 2 приводит к прибавлению 6 в результате. При этом сам первый множитель на числовой оси становится меньше, а произведение возрастает: это хороший повод отличать порядок чисел от порядка их модулей. Именно поэтому таблицу не стоит учить как последовательность положительных целых без объяснения знаков.

Попросите ученика обвести в таблице пары, в которых можно поменять множители местами, и проверить их без нового умножения. Один и тот же ответ, полученный в двух порядках, служит полезным подтверждением переместительного свойства. При этом можно проверить и само правило: любой из двадцати ответов должен быть больше нуля.

Отдельный ключ: все 20 результатов

1. 6: произведение модулей 2 и 3 равно 6, знак «плюс».
2. 12: произведение модулей 4 и 3 равно 12, знак «плюс».
3. 18: произведение модулей 6 и 3 равно 18, знак «плюс».
4. 24: произведение модулей 8 и 3 равно 24, знак «плюс».
5. 25: произведение модулей 5 и 5 равно 25, знак «плюс».
6. 35: произведение модулей 7 и 5 равно 35, знак «плюс».
7. 45: произведение модулей 9 и 5 равно 45, знак «плюс».
8. 55: произведение модулей 11 и 5 равно 55, знак «плюс».
9. 48: произведение модулей 12 и 4 равно 48, знак «плюс».
10. 52: произведение модулей 13 и 4 равно 52, знак «плюс».
11. 60: произведение модулей 15 и 4 равно 60, знак «плюс».
12. 80: произведение модулей 20 и 4 равно 80, знак «плюс».
13. 42: произведение модулей 3 и 14 равно 42, знак «плюс».
14. 42: произведение модулей 14 и 3 равно 42, знак «плюс».
15. 96: произведение модулей 16 и 6 равно 96, знак «плюс».
16. 96: произведение модулей 6 и 16 равно 96, знак «плюс».
17. 200: произведение модулей 25 и 8 равно 200, знак «плюс».
18. 200: произведение модулей 8 и 25 равно 200, знак «плюс».
19. 216: произведение модулей 18 и 12 равно 216, знак «плюс».
20. 360: произведение модулей 24 и 15 равно 360, знак «плюс».

Для самопроверки пересчитайте две случайные строки другим способом. Например, 18 × 12 = 18 × (10 + 2) = 180 + 36 = 216. Следовательно, (−18) × (−12) = 216. Для выражения (−24) × (−15) удобно посчитать 24 × (10 + 5) = 240 + 120 = 360.

Диагностика учителя: если знак найден правильно, но число неверно, нужно повторить умножение натуральных чисел; если модули перемножены правильно, а ответ отрицателен, требуется отработка правила знаков. Таблица специально разделяет две эти операции.

Для печати: ученику предназначены только разделы до заголовка «Ключ и разбор». Учителю удобно распечатать ответы отдельно. Для самопроверки сначала укажите знак результата, затем вычислите его модуль и, где возможно, выполните обратное действие.