Математика, 8 класс: неполные квадратные уравнения вида ax²+bx=0 — тренажёр

Почему здесь всегда есть нулевой корень

В неполном квадратном уравнении ax²+bx=0 с a ≠ 0 нет свободного члена. Вынесите общий множитель x: x(ax+b)=0. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, поэтому x=0 или ax+b=0. При b ≠ 0 второй корень равен −b/a и отличен от нуля. Не сокращайте обе части на x: такое сокращение исключит корень x=0!

Работа рассчитана на 8 класс. Первые два примера нужны для чтения алгоритма, далее идут четыре серии по шесть уравнений. В одном ряду встречаются дробные корни: это нормально, округление не требуется. Для печати отделите часть до ключей.

Два примера с подробными объяснениями

1. 2x²−8x=0. Выносим x: x(2x−8)=0. Значит, x=0 либо 2x−8=0, то есть x=4. Проверка: 2·4²−8·4=32−32=0.
2. −3x²−9x=0. Получаем −3x(x+3)=0, значит, x=0 либо x=−3. Проверка второго: −3·9−9·(−3)=−27+27=0. Знак перед коэффициентом влияет на ненулевой корень.

Шпаргалка для выбора шага

Тренажёр 1 — Разминка без дробей

Решите каждое уравнение, выделяя общий множитель. Перед переходом к следующему пункту подставьте ненулевой корень.

1. Решите x² − 7x = 0.
2. Решите x² + 9x = 0.
3. Решите 2x² − 8x = 0.
4. Решите 3x² + 12x = 0.
5. Решите -2x² + 10x = 0.
6. Решите 5x² − 15x = 0.

Тренажёр 2 — Отрицательный коэффициент

Знак «минус» перед x² не означает, что уравнение не имеет корней. Работайте через произведение и проверяйте знаки.

7. Решите 4x² + 2x = 0.
8. Решите -3x² − 9x = 0.
9. Решите 6x² − 3x = 0.
10. Решите 7x² + 14x = 0.
11. Решите 8x² − 12x = 0.
12. Решите -5x² + 20x = 0.

Тренажёр 3 — Дробный второй корень

Если −b/a — дробь, сокращайте её, а не десятичное приближение. Второй корень по-прежнему равен нулю.

13. Решите 9x² − 6x = 0.
14. Решите 2x² + 7x = 0.
15. Решите -4x² + x = 0.
16. Решите 3x² − 2x = 0.
17. Решите 10x² + 25x = 0.
18. Решите -6x² − 15x = 0.

Тренажёр 4 — Проверка без подсказок

Работайте самостоятельно: напишите два корня, разложение левой части и одну подстановку.

19. Решите 12x² − 9x = 0.
20. Решите -7x² + 4x = 0.
21. Решите x² + x = 0.
22. Решите -x² + 8x = 0.
23. Решите 4x² − 16x = 0.
24. Решите 5x² + 6x = 0.

Ответы и объяснение каждого пункта

Ловушки и самопроверка

• Потеря нуля: нельзя делить обе части на x до разбора случая x=0.
• Неверный знак: из 3x+12=0 следует x=−4, а не +4.
• Слишком раннее округление: в 4x²+x=0 второй корень −1/4; запись −0,25 допустима, но дробь проще проверять точно.
• Смешение типов: в ax²+c=0 выносить x обычно нельзя, поскольку в c нет множителя x.

Учителю удобно оценивать по 2 балла за пункт: 1 за вынесение x, 1 за оба корня. Если ученик верно решает линейный множитель, но пишет только один корень, вернитесь к свойству нулевого произведения. Повторная тренировка: составьте собственное уравнение с корнями 0 и −5, например x²+5x=0, и проверьте оба ответа.

Четыре контрольных разбора перед повторной тренировкой

Ситуация 1. В уравнении 4x²+2x=0 оба слагаемых имеют общий множитель 2x. Можно написать 2x(2x+1)=0, поэтому x=0 или x=−1/2. Допустим и вариант x(4x+2)=0: набор корней не изменится. Два разных разложения одной левой части дают один и тот же ответ. Это полезная проверка математического смысла, а не только внешнего вида записи.

Ситуация 2. В уравнении −3x²−9x=0 после вынесения −3x получаем −3x(x+3)=0. Отсюда x=0 либо x=−3. Отрицательный множитель −3 не влияет на решение: он никогда не равен нулю, а потому достаточно обнулить x или x+3. Если переписать −3x²−9x как −3x(x−3), получится другое выражение; раскрытие скобок быстро обнаружит ошибку.

Ситуация 3. Уравнение 6x²−3x=0 удобно переписать как 3x(2x−1)=0. Отсюда x=0 либо x=1/2. Подстановка ненулевого корня: 6·(1/2)²−3·(1/2)=6/4−3/2=0. Если во втором ответе появилась 2, проверьте решение именно линейного равенства 2x−1=0.

Ситуация 4. В −4x²+x=0 можно вынести только x: x(−4x+1)=0. Итак, x=0 и x=1/4. Не переносите знак минус автоматически в ответ: −4x+1=0 приводит к −4x=−1, а деление двух отрицательных чисел даёт положительное число. Это особенно частая ошибка в заданиях с маленькими коэффициентами.

Что считать полноценным решением

Полное решение содержит исходное уравнение, вынесение общего множителя, два уравнения для сомножителей и два ответа. Если b=0, то уравнение становится ax²=0, и оба способа приводят к одному корню x=0. В этой тренировке b специально не равен нулю, поэтому у каждого пункта два различных корня. Учитель может спросить, как изменится ответ, если изменить только знак b. Для ax²−bx=0 и ax²+bx=0 ненулевые корни противоположны, а нулевой общий.

Не путайте произведение с суммой: из x+5=0 нельзя сделать вывод «x=0 или 5=0», потому что это не произведение. Из x(x+5)=0 — можно. Учебная цель упражнения состоит именно в распознавании нулевого произведения, а не в отработке формулы квадратного уравнения. После проверки полезно составить один собственный пример с дробным ненулевым корнем, например 4x²−3x=0: корни 0 и 3/4.

Тренировка распознавания ошибок в чужом решении

Представьте запись ученика: «2x²−8x=0; делим обе части на x; 2x−8=0; x=4». Число 4 действительно корень, но решение неполное. Нужно сначала вынести x и разобрать два множителя: x(2x−8)=0, поэтому x=0 или x=4. Деление на выражение, которое может быть нулём, здесь уничтожает один допустимый ответ. Такой разбор полезен тем, кто быстро считает, но забывает проверить полноту множества корней.

Второй ученик решает 5x²−15x=0 и пишет x=0 или x=−3. Проверьте линейный множитель: 5x(x−3)=0, значит x=3. Подстановка x=−3 даёт 5·9−15·(−3)=90, а не ноль. Вычисление выявляет ошибку независимо от того, где именно знак был потерян. Третий ученик из −2x²+10x=0 получает x=0 и x=5; это верно, хотя ведущий коэффициент отрицателен: −2x(x−5)=0.

Для проверки результата удобно составить маленькую таблицу из трёх столбцов: найденный x, значение ax², значение bx. У обоих корней сумма последних двух столбцов должна равняться нулю. Такая проверка особенно полезна при дробных ответах, поскольку помогает не путать умножение дроби на коэффициент с её возведением в квадрат. Во время самостоятельной работы разрешайте дроби в сокращённом виде и требуйте точный ответ, а не десятичное округление.