Математика, 8 класс: текстовые задачи на нижнюю границу результата — тренажёр

Мини-тест: что означает «не меньше»

В этой работе неизвестное число обычно означает количество целых партий, недель, упаковок или участников. Поэтому результат уравнения и ответ задачи иногда различаются: значение 6,1 означает, что шести партий недостаточно, а семи — достаточно. Не забывайте, что нуль тоже может быть решением, если план уже выполнен.

Алгоритм для выражения a·n + b ≥ T, где a > 0: вычесть b, разделить на a, затем выбрать наименьшее целое неотрицательное n, удовлетворяющее условию. В контрольном ответе покажите значения при n − 1 и n, если n > 0. Не подменяйте «не менее» знаком >: точное равенство порогу подходит.

Задания 1–10: выберите минимальное число

1. В библиотеке уже есть 12 новых книг; каждый класс приносит по 7. Сколько классов нужно привлечь, чтобы книг стало не менее 68?
2. На складе есть 5 мячей, каждая поставка добавляет 9. Сколько поставок нужно для запаса не менее 86?
3. Команда набрала 14 баллов, за победу получает ещё 6. Сколько побед нужно для результата не ниже 75?
4. На стенде 20 фотографий, на каждый новый лист помещается ещё 12. Сколько листов нужно, чтобы разместить не менее 104?
5. В копилке 35 единиц, каждую неделю добавляют 5. Через сколько недель будет хотя бы 90?
6. Собрано 24 кг макулатуры, каждый участник приносит по 8 кг. Сколько ещё участников нужно для результата не менее 97 кг?
7. В школьном фонде уже 10 тетрадей, каждая коробка содержит 15. Сколько коробок нужно, чтобы было минимум 117 тетрадей?
8. У волонтёров готово 18 наборов, каждый час они собирают ещё 4. Сколько полных часов нужно для 51 набора?
9. В одной упаковке 11 карандашей. Сколько упаковок нужно, чтобы иметь хотя бы 88 карандашей?
10. В зале уже расставлено 7 стульев, в каждом ряду добавляют по 13. Сколько рядов нужно для не менее 99 мест?

Задания 11–20: закрепление с граничными случаями

Здесь специально встречаются задачи, где дополнительная партия не требуется, и ситуации, где достаточно ровно целого числа партий. Для каждого пункта запишите неравенство, минимальное n и проверку одной подстановкой.

11. В первый день сделано 42 открытки, затем по 3 в день. Сколько дополнительных дней нужно, чтобы стало не меньше 50 открыток?
12. В коробке уже 15 деталей при плане не менее 14. Сколько ещё пачек по 20 необходимо?
13. На счету 12 баллов; каждое испытание даёт 9. Сколько испытаний нужно для порога 93?
14. На спортивном складе 4 скакалки, каждой поставкой приходит 16. Сколько поставок обеспечат не менее 101 штуки?
15. В мастерской есть 9 деталей, станок делает по 7 за цикл. Сколько циклов нужно, чтобы деталей было не менее 64?
16. В отряде 19 участников; каждая команда приводит по 5. Сколько команд нужно для состава хотя бы 60 человек?
17. У магазина 30 открыток, в каждой новой коробке 14. Сколько коробок доставить для запаса не менее 128?
18. Для конкурса уже набрано 40 заявок, из каждого класса подают по 6. Сколько классов ещё нужно, чтобы заявок стало не менее 75?
19. Участники подготовили 2 плаката, каждое занятие добавляет 8. Сколько занятий нужно для 66 плакатов?
20. В альбоме 47 фотографий, в неделю добавляют по 10. Сколько недель нужно для 103 фотографий?

Разбор решений по каждому номеру

1. 7n + 12 ≥ 68; минимальное n = 8: 7·8 + 12 = 68 ≥ 68; при n = 7 получаем 61 < 68.
2. 9n + 5 ≥ 86; минимальное n = 9: 9·9 + 5 = 86 ≥ 86; при n = 8 получаем 77 < 86.
3. 6n + 14 ≥ 75; минимальное n = 11: 6·11 + 14 = 80 ≥ 75; при n = 10 получаем 74 < 75.
4. 12n + 20 ≥ 104; минимальное n = 7: 12·7 + 20 = 104 ≥ 104; при n = 6 получаем 92 < 104.
5. 5n + 35 ≥ 90; минимальное n = 11: 5·11 + 35 = 90 ≥ 90; при n = 10 получаем 85 < 90.
6. 8n + 24 ≥ 97; минимальное n = 10: 8·10 + 24 = 104 ≥ 97; при n = 9 получаем 96 < 97.
7. 15n + 10 ≥ 117; минимальное n = 8: 15·8 + 10 = 130 ≥ 117; при n = 7 получаем 115 < 117.
8. 4n + 18 ≥ 51; минимальное n = 9: 4·9 + 18 = 54 ≥ 51; при n = 8 получаем 50 < 51.
9. 11n + 0 ≥ 88; минимальное n = 8: 11·8 + 0 = 88 ≥ 88; при n = 7 получаем 77 < 88.
10. 13n + 7 ≥ 99; минимальное n = 8: 13·8 + 7 = 111 ≥ 99; при n = 7 получаем 98 < 99.
11. 3n + 42 ≥ 50; минимальное n = 3: 3·3 + 42 = 51 ≥ 50; при n = 2 получаем 48 < 50.
12. 20n + 15 ≥ 14; минимальное n = 0: 20·0 + 15 = 15 ≥ 14; план уже выполнен при n = 0.
13. 9n + 12 ≥ 93; минимальное n = 9: 9·9 + 12 = 93 ≥ 93; при n = 8 получаем 84 < 93.
14. 16n + 4 ≥ 101; минимальное n = 7: 16·7 + 4 = 116 ≥ 101; при n = 6 получаем 100 < 101.
15. 7n + 9 ≥ 64; минимальное n = 8: 7·8 + 9 = 65 ≥ 64; при n = 7 получаем 58 < 64.
16. 5n + 19 ≥ 60; минимальное n = 9: 5·9 + 19 = 64 ≥ 60; при n = 8 получаем 59 < 60.
17. 14n + 30 ≥ 128; минимальное n = 7: 14·7 + 30 = 128 ≥ 128; при n = 6 получаем 114 < 128.
18. 6n + 40 ≥ 75; минимальное n = 6: 6·6 + 40 = 76 ≥ 75; при n = 5 получаем 70 < 75.
19. 8n + 2 ≥ 66; минимальное n = 8: 8·8 + 2 = 66 ≥ 66; при n = 7 получаем 58 < 66.
20. 10n + 47 ≥ 103; минимальное n = 6: 10·6 + 47 = 107 ≥ 103; при n = 5 получаем 97 < 103.

Дополнительное закрепление и частые ошибки

Проверьте три утверждения: «не менее 40» допускает 40; «больше 40» требует хотя бы 41, если речь о целых предметах; «не более 40» запрещает 41. В задаче про время результат 5,2 часа можно оставить дробным, когда допускаются части часа, но здесь специально требуется число полных циклов или завершённых партий. Контекст определяет вид окончательного ответа.

Для учителя: за верно составленное неравенство дайте 1 балл, за верное целочисленное округление — 1, за доказательство минимальности — ещё 1. Если ученик всегда округляет вниз, повторите два соседних значения n и n − 1. Если всегда прибавляет единицу, разберите точное попадание в порог на примере 11·8 = 88.

Совет для печати: сначала распечатайте разделы с заданиями ученику; ответы и решения вынесены отдельно для учителя и самопроверки.