Медиана набора с выбросом и без выброса для 7 класса — упражнения с разбором

Исследование, 7 класс. Медиана — число в середине упорядоченного ряда; для чётного числа наблюдений это среднее двух центральных значений. Не путайте медиану со средним арифметическим: крайнее необычное наблюдение может резко изменить среднее, но оставить медиану прежней.

Наблюдение: одно и то же число наблюдений, разные крайние значения

Рассмотрим ряд (3; 6; 7; 10; 12): медиана равна 7. Если последнее значение заменить на 120, ряд (3; 6; 7; 10; 120) всё ещё имеет медиану 7. Однако среднее изменилось: было 38 : 5 = 7,6, стало 146 : 5 = 29,2. Выбросом называют наблюдение, заметно удалённое от основной массы данных; само слово не означает автоматического исключения числа из ряда.

Для чётного ряда (2; 4; 9; 13) медиана — (4 + 9) : 2 = 6,5. Если заменить 13 на 130, середина не изменится. Но если добавить новое значение, количество наблюдений станет нечётным, и положение середины может измениться. Поэтому в сравнении нужно различать замену, добавление и удаление.

Сформулируйте гипотезу

Предположите: «Если в упорядоченном ряду заменить самое большое число на ещё большее, не меняя числа наблюдений, медиана останется прежней». Для каких размеров ряда это верно? Проверьте гипотезу на нескольких примерах. Обратите внимание, что перестановка числа через середину — совсем другая операция.

Как проверять гипотезу

• Перепишите каждый ряд по возрастанию, сохраняя повторы.
• Найдите центральную позицию: при нечётном числе элементов она одна; при чётном — две.
• Сравните значения на центральных позициях до и после изменения.
• Разберите, была ли замена значения, добавление или удаление элемента. Для новой длины ряда медиана ищется заново.

Самостоятельные исследования: 14 ситуаций

1. Замена максимума. Набор A: (2; 5; 7; 8; 11), набор Б: (2; 5; 7; 8; 91). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
2. Замена минимума. Набор A: (4; 6; 9; 10; 13), набор Б: (-40; 6; 9; 10; 13). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
3. Четыре числа. Набор A: (3; 5; 9; 12), набор Б: (3; 5; 9; 120). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
4. Шесть чисел. Набор A: (1; 4; 6; 8; 10; 12), набор Б: (1; 4; 6; 8; 10; 200). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
5. Повтор медианного числа. Набор A: (2; 3; 3; 7; 9), набор Б: (2; 3; 3; 7; 70). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
6. Большой выброс при чётном объёме. Набор A: (5; 7; 11; 15; 19; 21), набор Б: (5; 7; 11; 15; 19; 101). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
7. Выброс снизу. Набор A: (6; 8; 12; 15; 17; 20), набор Б: (-96; 8; 12; 15; 17; 20). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
8. Все значения двузначные. Набор A: (22; 26; 29; 34; 38), набор Б: (22; 26; 29; 34; 138). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
9. Добавление высокого значения. Набор A: (3; 5; 8; 10; 12), набор Б: (3; 5; 8; 10; 12; 99). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
10. Добавление низкого значения. Набор A: (4; 8; 10; 14), набор Б: (-50; 4; 8; 10; 14). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
11. Удаление экстремального значения. Набор A: (1; 3; 7; 10; 12; 88), набор Б: (1; 3; 7; 10; 12). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
12. Элемент перенесён через центр. Набор A: (2; 4; 6; 8; 10), набор Б: (2; 4; 8; 10; 60). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
13. Выброс делает объём чётным. Набор A: (1; 2; 6; 9; 13), набор Б: (1; 2; 6; 9; 13; 113). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.
14. Двойная середина. Набор A: (5; 7; 9; 11; 13; 15), набор Б: (5; 7; 9; 11; 13; 150). Найдите медиану обоих наборов, сравните их и объясните, что изменилось: крайнее число, порядок или количество значений.

Лист доказательных ответов

1. А после упорядочивания: (2; 5; 7; 8; 11), медиана 7; Б: (2; 5; 7; 8; 91), медиана 7. Медианы равны. Срединные позиции сохранили прежние значения.
2. А после упорядочивания: (4; 6; 9; 10; 13), медиана 9; Б: (-40; 6; 9; 10; 13), медиана 9. Медианы равны. Срединные позиции сохранили прежние значения.
3. А после упорядочивания: (3; 5; 9; 12), медиана 7; Б: (3; 5; 9; 120), медиана 7. Медианы равны. Срединные позиции сохранили прежние значения.
4. А после упорядочивания: (1; 4; 6; 8; 10; 12), медиана 7; Б: (1; 4; 6; 8; 10; 200), медиана 7. Медианы равны. Срединные позиции сохранили прежние значения.
5. А после упорядочивания: (2; 3; 3; 7; 9), медиана 3; Б: (2; 3; 3; 7; 70), медиана 3. Медианы равны. Срединные позиции сохранили прежние значения.
6. А после упорядочивания: (5; 7; 11; 15; 19; 21), медиана 13; Б: (5; 7; 11; 15; 19; 101), медиана 13. Медианы равны. Срединные позиции сохранили прежние значения.
7. А после упорядочивания: (6; 8; 12; 15; 17; 20), медиана 13,5; Б: (-96; 8; 12; 15; 17; 20), медиана 13,5. Медианы равны. Срединные позиции сохранили прежние значения.
8. А после упорядочивания: (22; 26; 29; 34; 38), медиана 29; Б: (22; 26; 29; 34; 138), медиана 29. Медианы равны. Срединные позиции сохранили прежние значения.
9. А после упорядочивания: (3; 5; 8; 10; 12), медиана 8; Б: (3; 5; 8; 10; 12; 99), медиана 9. Медианы различаются на 1. Серединное значение или срединная пара изменились; важно проверить положение середины, а не только величину выброса.
10. А после упорядочивания: (4; 8; 10; 14), медиана 9; Б: (-50; 4; 8; 10; 14), медиана 8. Медианы различаются на 1. Серединное значение или срединная пара изменились; важно проверить положение середины, а не только величину выброса.
11. А после упорядочивания: (1; 3; 7; 10; 12; 88), медиана 8,5; Б: (1; 3; 7; 10; 12), медиана 7. Медианы различаются на 1,5. Серединное значение или срединная пара изменились; важно проверить положение середины, а не только величину выброса.
12. А после упорядочивания: (2; 4; 6; 8; 10), медиана 6; Б: (2; 4; 8; 10; 60), медиана 8. Медианы различаются на 2. Серединное значение или срединная пара изменились; важно проверить положение середины, а не только величину выброса.
13. А после упорядочивания: (1; 2; 6; 9; 13), медиана 6; Б: (1; 2; 6; 9; 13; 113), медиана 7,5. Медианы различаются на 1,5. Серединное значение или срединная пара изменились; важно проверить положение середины, а не только величину выброса.
14. А после упорядочивания: (5; 7; 9; 11; 13; 15), медиана 10; Б: (5; 7; 9; 11; 13; 150), медиана 10. Медианы равны. Срединные позиции сохранили прежние значения.

Итоги: когда медиана устойчива, а когда нет

Гипотеза подтверждается для замены максимального наблюдения на ещё большее и для замены минимального на ещё меньшее: порядок срединных элементов не меняется, поэтому медиана остаётся прежней. Однако это утверждение относится к замене крайних элементов при неизменном числе данных, а не к любому изменению ряда.

В заданиях на добавление или удаление наблюдения нужно заново подсчитать размер ряда. Пять чисел имеют одну центральную позицию, шесть — две; изменение длины ряда само по себе способно поменять медиану. В задаче с переносом числа через центр меняется порядок центральных значений, поэтому медиана может измениться даже без изменения объёма.

Что считать выбросом? В этой учебной работе аномальные значения сделаны очевидными, но в настоящей статистике критерий обнаружения выбросов нужно задавать отдельно. Не удаляйте наблюдение только за то, что оно кажется неудобным: сначала выясняют, измерено ли оно корректно и какова цель анализа.

Проверка понимания. После выполнения объясните словами три различия: медиана и среднее; замена и добавление; порядковая позиция и числовая величина. Умение ответить на эти вопросы важнее механического подсчёта во всех 14 примерах.