Метод интервалов с чётной степенью знаменателя для 9 класса — упражнения с разбором

Диагностика для 9 класса. В каждом примере знаменатель содержит чётную степень. Ваша задача — не автоматически менять знак в каждой отмеченной точке, а сначала установить область допустимых значений (ОДЗ).

Алгоритм в четырёх шагах

1. Назовите запрещённые значения: основания знаменателей не могут обращаться в ноль.
2. На оставшихся точках (x − a)², (x − a)⁴ и другие чётные степени положительны; знак дроби определяется числителем и знаком остальных множителей.
3. Отметьте нули числителя и точки разрыва отдельно: нуль можно включить при ≥ или ≤, полюс никогда не включают.
4. Выберите нужные промежутки и проверьте пограничные точки подстановкой.

Пример: (x + 1)/(x − 2)² ≤ 0. ОДЗ: x ≠ 2. Поскольку знаменатель положителен, решаем x + 1 ≤ 0. Получаем x ≤ −1 — точка 2 в ответ и не попадает.

Проверьте себя: 12 упражнений

1. Решите (x − 4)/(x − 1)² > 0. Какую точку исключает ОДЗ?
2. Найдите все x: (x + 2)/(x − 3)² ≥ 0.
3. Для каких x выполняется (5 − x)/(x + 1)² < 0?
4. Решите (x − 6)/(x − 6)² > 0; допускается ли сокращение при x = 6?
5. Укажите интервалы для (x + 3)(x − 2)/(x − 1)² < 0.
6. Найдите решения (x − 1)²/(x + 4)² ≤ 0.
7. Решите (x − 8)/(x + 2)⁴ ≤ 0.
8. Укажите решения (x + 5)/(x − 5)² > 0.
9. Решите −(x + 1)/(x − 2)² ≥ 0.
10. Найдите x: (x² − 9)/(x − 3)² ≥ 0.
11. Решите (2 − x)(x + 4)/(x − 2)² > 0.
12. Верно ли, что (x − 3)²/(x − 3)⁴ ≥ 0 при любом действительном x? Исправьте формулировку.

Лист ответов и пояснения

1. (4; +∞). Знаменатель положителен при x ≠ 1, знак задаёт x − 4. При x = 4 дробь равна нулю, а требуется строгое неравенство.
2. [−2; 3) ∪ (3; +∞). Числитель неотрицателен при x ≥ −2; x = 3 запрещено. Точка −2 допустима.
3. (5; +∞). Положительный знаменатель не меняет знак; 5 − x < 0 означает x > 5. x = −1 не входит в найденный интервал.
4. (6; +∞). При x ≠ 6 дробь равна 1/(x − 6). Исходное выражение при x = 6 не существует; сокращение не возвращает эту точку.
5. (−3; 1) ∪ (1; 2). Произведение (x + 3)(x − 2) отрицательно между −3 и 2. Из промежутка исключаем полюс x = 1.
6. {1}. Квадраты неотрицательны, дробь принимает значение 0 только при x = 1. Точка −4 исключена, но решением и так не является.
7. (−∞; −2) ∪ (−2; 8]. Степень 4 положительна при x ≠ −2; нужно x − 8 ≤ 0. Восьмёрка включена.
8. (−5; 5) ∪ (5; +∞). Требуется x + 5 > 0, при x = 5 знаменатель обнуляется; −5 исключено из-за строгого знака.
9. (−∞; −1]. −(x + 1) ≥ 0 равносильно x ≤ −1; исключаемый x = 2 лежит вне решения.
10. (−∞; −3] ∪ (3; +∞). (x − 3)(x + 3) ≥ 0 при x ≤ −3 или x ≥ 3; x = 3 недопустимо по знаменателю.
11. (−4; 2). При x ≠ 2 знак определяется произведением (2 − x)(x + 4). На −4 < x < 2 оба множителя положительны.
12. Нет. Дробь положительна для любого x ≠ 3 (она равна 1/(x − 3)²), но в x = 3 не определена. Ответ: (−∞; 3) ∪ (3; +∞).

Три ошибки, которые дорого обходятся

• «Любой корень меняет знак». Не при чётной кратности. В (x − 1)² знак справа и слева одинаков; x = 1 всё равно исключено из ОДЗ дроби с этим знаменателем.
• «После сокращения точку можно вернуть». Нет: область определения определяется исходной записью, даже если выражение упрощается.
• «Строгий знак включает ноль». Нет: при > и < точки нуля числителя не входят. При ≥ и ≤ входят только допустимые точки.

Самопроверка: отдельно выпишите запрещённые точки и рядом подчеркните включённые нули числителя. Если перечни пересекаются, приоритет у ОДЗ: запрещённая точка никогда не становится решением.

Почему таблица знаков здесь короче обычной

Рассмотрим дробь (x − 7)/(x + 3)². Точка x = −3 не является нулём дроби: в ней дробь вообще не определена. Слева от −3 и справа от −3 знаменатель положителен. Следовательно, переход через эту точку не меняет знак дроби. На всём промежутке x < 7 числитель отрицателен, кроме запрещённой точки −3. На x > 7 числитель положителен. Значит, для неравенства (x − 7)/(x + 3)² < 0 получим (−∞; −3) ∪ (−3; 7). Это полезная проверка правила на конкретном числе.

Но если чётная степень стоит не во всём знаменателе, например (x − 7)/((x + 3)²(x − 1)), рассуждать только по числителю уже нельзя: множитель x − 1 имеет нечётную степень и меняет знак. В наших упражнениях обращайте внимание, какая именно часть знаменателя положительна.

Быстрая самодиагностика до просмотра ответов

Возьмите любую точку внутри найденного интервала, например для задания 5 число x = 0: числитель (3)(−2) отрицателен, квадрат в знаменателе равен 1; значит дробь действительно меньше нуля. Затем проверьте x = 1: подстановка запрещена. Наконец, в x = 2 числитель равен нулю, а знак неравенства строгий, поэтому 2 не входит. Три такие проверки обычно выявляют сразу несколько распространённых ошибок.

Не путайте знак числа и значение дроби. Когда знаменатель положителен, дробь и числитель имеют одинаковый знак, но их значения, конечно, не равны. Нельзя писать (x + 2)/(x − 3)² = x + 2. Верно лишь сравнение их знаков при x ≠ 3.