Метод интервалов с кратным корнем числителя: задачи и решения для 9 класса

Что меняет кратный корень

Когда в числителе стоит (x−a)², при переходе через x=a квадрат остаётся неотрицательным. Если a не является одновременно нулём знаменателя, знак дроби в точке x=a не меняется: при строгом > или < нулевую точку выколют, а при ≥ или ≤ её можно включить. Если корень числителя входит в знаменатель, ОДЗ исходной дроби имеет приоритет.

Пример 1: (x−1)²/(x+4)>0. Полюс −4, двойной нуль 1. Знаменатель положителен справа от −4; дробь положительна, кроме нуля 1. Ответ: (−4;1)∪(1;+∞). Ошибка — механически поменять знак в точке 1, хотя кратность чётная.

Пример 2: (x−2)²/(x−2)≥0. Для x≠2 выражение равно x−2, но x=2 не входит в исходную ОДЗ. Ответ: (2;+∞). Сокращение не возвращает запрещённую точку.

Базовый уровень: знакомимся с чётной кратностью

Поставьте на числовой прямой пустой кружок в запрещённом полюсе, закрашенный или пустой — в нуле числителя по знаку неравенства. Решите первые восемь задач.

1. (x−2)²/(x+3)≥0
2. (x+1)²/(x−4)<0
3. (x−5)²/(x−1)>0
4. −(x−3)²/(x+2)≤0
5. (x+4)²/(x−2)≤0
6. (x−1)²/(5−x)>0
7. −(x+2)²/(x−6)>0
8. (x−7)²/(x+1)<0

Повышенный уровень: сокращение и ОДЗ

Здесь сокращение общих множителей возможно только на исходной области допустимых значений. Проверьте все точки, исчезающие при сокращении.

1. (x−4)²/(x−4)≥0
2. (x+3)²/(x+3)<0
3. (x−2)²/((x−2)(x+1))>0
4. (x−4)²/((x−4)(x+2))≤0
5. (x+1)²/(x−3)≥0
6. −(x−2)²/(x+5)≥0
7. (x+6)²/(x−1)≤0
8. (x−3)²/(2−x)<0
9. (x−5)²/(x+2)>0
10. −(x+1)²/(3−x)≤0
11. (x−4)²/((x−4)²(x−1))≥0
12. (x+2)²/((x+2)(x−5))>0

Почему знаки не всегда чередуются

Сначала выясните, где дробь не существует: для примера (x−5)²/(x+2)>0 это только x=−2. Затем найдите нуль числителя x=5 и его кратность 2. На всём промежутке x>−2 знаменатель положителен, а квадрат положителен везде, кроме x=5. Значит от −2 до 5 знак плюс, от 5 до бесконечности — тоже плюс. Поскольку неравенство строгое, в 5 делаем выколотую точку, хотя при проходе через неё знак не изменился.

Когда в числителе появился минус перед квадратом, как в −(x−2)²/(x+5), знак обычно противоположен знаку знаменателя. Но в самом x=2 значение равно нулю, если знаменатель там ненулевой. Поэтому нестрогое ≥0 может дать объединение луча и одиночной точки, что невозможно заметить одним грубым правилом «левее минус, правее плюс».

При сокращении общего квадрата получаем выражение, равное исходному только там, где множитель не равен нулю. Так, у (x−4)²/((x−4)²(x−1)) оба числа x=4 и x=1 исключены из ОДЗ. После сокращения остаётся 1/(x−1), но запрещённая четвёрка никуда не исчезла. Кружок в 4 на числовой прямой должен оставаться пустым.

Для проверочной работы предложите ученику пояснить каждую конечную точку словами: «нуль допустим и входит», «нуль допустим, но строгий знак», «исходный знаменатель равен нулю». Это предотвращает случайное включение точки после сокращения и позволяет проверить не только арифметику, но и математическую логику.

Критерии самостоятельной проверки

Каждая задача оценивается по трём действиям: верно указаны запрещённые значения; верно построена таблица знаков с учётом чётной кратности; конечное множество записано с правильными скобками и отдельными изолированными точками, если они есть. Всего 60 баллов.

Ответы: базовый уровень

1. (−3;+∞). Знак числителя неотрицателен, двойной нуль x=2 допустим и включён.
2. (−∞;−1)∪(−1;4). На x<4 дробь отрицательна, но при x=−1 равна 0, что запрещено строгим знаком.
3. (1;5)∪(5;+∞). Двойной нуль 5 исключён строгим знаком; полюс 1 запрещён.
4. (−2;+∞). При x=3 дробь равна 0 и включается.
5. (−∞;2). Двойной нуль −4 лежит в ответе; x=2 запрещён.
6. (−∞;1)∪(1;5). В точке 1 нуль не подходит для >0; 5 — полюс.
7. (−∞;−2)∪(−2;6). При −2 выражение равно нулю, а при 6 не определено.
8. (−∞;−1). Здесь нуль 7 расположен справа от полюса, где дробь положительна.

Ответы: повышенный уровень

9. (4;+∞). При x≠4 дробь равна x−4, но x=4 исключён исходным знаменателем.
10. (−∞;−3). После сокращения выражение x+3, но x=−3 остаётся запрещённым.
11. (−∞;−1)∪(2;+∞). Знаменатель обнуляется в точках −1 и 2; после сокращения их нельзя вернуть.
12. (−2;4). И x=4, и x=−2 исключены исходным знаменателем.
13. {−1}∪(3;+∞). При x=−1 дробь равна нулю, хотя весь остальной левый луч отрицателен.
14. (−∞;−5)∪{2}. На левом луче дробь положительна; при x=2 равна 0 и допустима.
15. (−∞;1). В точке −6 допустимый нуль включён.
16. (2;3)∪(3;+∞). Для x>2 знаменатель отрицателен, но в 3 числитель нулевой.
17. (−2;5)∪(5;+∞). Точка 5 исключается только из-за строгого знака.
18. (−∞;3). Для x<3 дробь неположительна, включая допустимый нуль −1.
19. (1;4)∪(4;+∞). После сокращения 1/(x−1), но x=4 остаётся запрещённым.
20. (−∞;−2)∪(5;+∞). После сокращения (x+2)/(x−5); точки −2 и 5 не допускаются.

Разбор трёх наиболее сложных случаев

Задание 13. У дроби (x+1)²/(x−3) при x=−1 числитель равен нулю, знаменатель −4, поэтому эта одиночная точка входит в ответ для ≥0. По обе стороны от −1, но левее 3, дробь отрицательна. Отсюда {−1}∪(3;+∞).

Задание 14. Минус перед дробью меняет её знак, но в x=2 дробь равна нулю. Значение 2 разрешено исходной ОДЗ, поэтому добавляется изолированная точка {2}, хотя около неё знак отрицательный.

Задание 19. В (x−4)²/((x−4)²(x−1)) запрещены x=4 и x=1. После сокращения для остальных x имеем 1/(x−1). При нестрогом знаке ≥0 получаем x>1, дополнительно выколов 4. Точка x=4 не является решением независимо от того, чему равно упрощённое выражение.