Минимальный расход ограждения для прямоугольного участка — практикум с ответами для 11 класса

Модель задачи и два разных режима ограждения

В заданиях «четыре стороны» имеется в виду отдельный прямоугольный участок без стены. Для площади A > 0 обозначим стороны x > 0 и y = A/x. Периметр P(x) = 2x + 2A/x. Производная P′(x) = 2 − 2A/x² обращается в нуль при x = √A. Функция до этого значения убывает, после — возрастает. Минимальный периметр равен 4√A и достигается у квадрата; это утверждение относится к фиксированной площади.

Если одна сторона прилегает к существующей стене и ограждать надо только остальные три стороны, расход L(x) = 2x + A/x, где x — глубина. Минимум при x = √(A/2), а длина вдоль стены равна 2x. Эти два режима не надо смешивать: у них разные оптимальные пропорции и стоимость.

Пограничные случаи: когда формула перестаёт работать

1. Если стороны допускается делать сколь угодно тонкими, периметр растёт без границ, а не уменьшается: при x → 0 второе слагаемое 2A/x → +∞.
2. Если участок можно делать только с одной стороной не короче указанного минимума, нужно отдельно проверить ограничение: оптимальный квадрат может оказаться запрещён.
3. Если ворота заменяют часть забора фиксированной длины g, то расход материала равен P − g при условии, что выбранная сторона длиннее ворот. Сам оптимальный прямоугольник при фиксированном g не меняется.
4. Сторона вдоль стены не ограждается только тогда, когда это явно сказано. Нельзя автоматически вычитать её из формулы полного периметра.

Уровень 1: базовые расчёты

1. Прямоугольный участок площадью 64 м² ограждают со всех четырёх сторон. Найдите минимальную длину ограды и стороны оптимального участка.
2. Прямоугольный участок площадью 81 м² ограждают со всех четырёх сторон. Найдите минимальную длину ограды и стороны оптимального участка.
3. Прямоугольный участок площадью 100 м² ограждают со всех четырёх сторон. Найдите минимальную длину ограды и стороны оптимального участка.
4. Прямоугольный участок площадью 144 м² ограждают со всех четырёх сторон. Найдите минимальную длину ограды и стороны оптимального участка.
5. Прямоугольный участок площадью 196 м² ограждают со всех четырёх сторон. Найдите минимальную длину ограды и стороны оптимального участка.
6. Прямоугольный участок площадью 225 м² ограждают со всех четырёх сторон. Найдите минимальную длину ограды и стороны оптимального участка.
7. Прямоугольный участок площадью 72 м² ограждают со всех четырёх сторон. Найдите минимальную длину ограды и стороны оптимального участка.
8. Прямоугольный участок площадью 50 м² ограждают со всех четырёх сторон. Найдите минимальную длину ограды и стороны оптимального участка.

Уровень 2: три стороны у стены

1. Одна длинная сторона участка площадью 32 м² прилегает к прямой стене и не ограждается. Найдите оптимальные глубину и длину вдоль стены, а также расход ограды на три стороны.
2. Одна длинная сторона участка площадью 50 м² прилегает к прямой стене и не ограждается. Найдите оптимальные глубину и длину вдоль стены, а также расход ограды на три стороны.
3. Одна длинная сторона участка площадью 72 м² прилегает к прямой стене и не ограждается. Найдите оптимальные глубину и длину вдоль стены, а также расход ограды на три стороны.
4. Одна длинная сторона участка площадью 98 м² прилегает к прямой стене и не ограждается. Найдите оптимальные глубину и длину вдоль стены, а также расход ограды на три стороны.
5. Одна длинная сторона участка площадью 128 м² прилегает к прямой стене и не ограждается. Найдите оптимальные глубину и длину вдоль стены, а также расход ограды на три стороны.
6. Одна длинная сторона участка площадью 200 м² прилегает к прямой стене и не ограждается. Найдите оптимальные глубину и длину вдоль стены, а также расход ограды на три стороны.

Уровень 3: решения с ограничениями и стоимостью

1. Площадь 96 м². Сравните расход забора для участков 8 × 12 м и 6 × 16 м; может ли быть ещё экономнее?
2. Площадь 120 м², четыре стороны, в ограде оставляют ворота шириной 2 м. Найдите наименьший расход заборного материала.
3. Площадь 144 м². Сравните минимум для полного ограждения и для трёх сторон у стены.
4. Участок 12 × 25 м (300 м²). Сколько метров экономит переход к участку минимального периметра той же площади?
5. Площадь 256 м² и закуплено 68 м ограды на четыре стороны. Какой минимальный расход и сколько лишнего материала по сравнению с ним?
6. Площадь 100 м²; длина стороны x обязана быть не меньше 12 м. Найдите оптимальные x, y и полный периметр.
7. Площадь 200 м², бюджет ровно 60 м ограды. Можно ли сделать квадратный участок? А участок 10 × 20 м?
8. Площадь 98 м² рядом со стеной. Сколько стоит минимальное трёхстороннее ограждение при цене 850 тг/м?

Ответы к уровням 1–2

1. A = 64 м²: квадрат со стороной √64 = 8 м; минимум P = 4√64 = 32 м. Проверка: произведение сторон равно 64 м².
2. A = 81 м²: квадрат со стороной √81 = 9 м; минимум P = 4√81 = 36 м. Проверка: произведение сторон равно 81 м².
3. A = 100 м²: квадрат со стороной √100 = 10 м; минимум P = 4√100 = 40 м. Проверка: произведение сторон равно 100 м².
4. A = 144 м²: квадрат со стороной √144 = 12 м; минимум P = 4√144 = 48 м. Проверка: произведение сторон равно 144 м².
5. A = 196 м²: квадрат со стороной √196 = 14 м; минимум P = 4√196 = 56 м. Проверка: произведение сторон равно 196 м².
6. A = 225 м²: квадрат со стороной √225 = 15 м; минимум P = 4√225 = 60 м. Проверка: произведение сторон равно 225 м².
7. A = 72 м²: квадрат со стороной √72 = 6√2 м; минимум P = 4√72 = 4√72 м. Проверка: произведение сторон равно 72 м².
8. A = 50 м²: квадрат со стороной √50 = 5√2 м; минимум P = 4√50 = 4√50 м. Проверка: произведение сторон равно 50 м².
9. Без ограды вдоль стены L = 2x + A/x, x > 0. Условие L′ = 2 − 32/x² = 0 даёт глубину x = 4 м, длину вдоль стены y = 8 м, минимум L = 16 м. Площадь 4 · 8 = 32 м².
10. Без ограды вдоль стены L = 2x + A/x, x > 0. Условие L′ = 2 − 50/x² = 0 даёт глубину x = 5 м, длину вдоль стены y = 10 м, минимум L = 20 м. Площадь 5 · 10 = 50 м².
11. Без ограды вдоль стены L = 2x + A/x, x > 0. Условие L′ = 2 − 72/x² = 0 даёт глубину x = 6 м, длину вдоль стены y = 12 м, минимум L = 24 м. Площадь 6 · 12 = 72 м².
12. Без ограды вдоль стены L = 2x + A/x, x > 0. Условие L′ = 2 − 98/x² = 0 даёт глубину x = 7 м, длину вдоль стены y = 14 м, минимум L = 28 м. Площадь 7 · 14 = 98 м².
13. Без ограды вдоль стены L = 2x + A/x, x > 0. Условие L′ = 2 − 128/x² = 0 даёт глубину x = 8 м, длину вдоль стены y = 16 м, минимум L = 32 м. Площадь 8 · 16 = 128 м².
14. Без ограды вдоль стены L = 2x + A/x, x > 0. Условие L′ = 2 − 200/x² = 0 даёт глубину x = 10 м, длину вдоль стены y = 20 м, минимум L = 40 м. Площадь 10 · 20 = 200 м².

Разбор уровня 3

1. 8 × 12: P = 40 м; 6 × 16: P = 44 м. Абсолютный минимум среди всех положительных размеров — 4√96 = 16√6 ≈ 39,19 м (квадрат со стороной 4√6 м).
2. Минимальный полный периметр 4√120 = 8√30 ≈ 43,82 м. Материал: 8√30 − 2 ≈ 41,82 м; сторона квадрата √120 ≈ 10,95 м длиннее ворот.
3. Четыре стороны: 4√144 = 48 м. У стены: 2√(2 · 144) = 24√2 ≈ 33,94 м. Экономия 48 − 24√2 ≈ 14,06 м.
4. Исходный периметр 74 м. Минимум P = 4√300 = 40√3 ≈ 69,28 м. Экономия 74 − 40√3 ≈ 4,72 м.
5. Минимум 4√256 = 64 м (участок 16 × 16 м). Избыток относительно оптимума 68 − 64 = 4 м; это не означает, что любая форма укладывается в 68 м.
6. Без ограничения оптимум x=10 м, но он недопустим. При x ≥ 12 функция P(x)=2x+200/x возрастает, значит минимум на границе x=12 м, y=100/12=25/3 м, P=122/3 ≈ 40,67 м.
7. Квадрат требует 4√200 = 40√2 ≈ 56,57 м, уложится в бюджет. Участок 10 × 20 м требует ровно 60 м, тоже укладывается, хотя не оптимален.
8. При x=7 м, y=14 м длина ограды 2·7+14=28 м. Стоимость 28·850=23 800 тг; рубли или квадратные метры в ответе были бы ошибкой.

Критерии: за постановку A = xy и запись соответствующей целевой функции — 1 балл, за производную и выбор допустимого минимума — 1 балл, за проверку геометрических размеров и единиц — 1 балл. Для заданий со стеной не требуйте ответ как для полного квадрата. Обозначение x ≥ 12 в шестой задаче действительно ограничивает минимум.

Как проверить найденную экономию на практике

Когда площадь задана, сравнение двух произвольных периметров не заменяет доказательства абсолютного минимума. Для полного забора можно переписать 2x+2A/x и проверить неравенство x+A/x ≥ 2√A для x>0: равенство возможно только при x=√A. Это ещё одна проверка результата, независимая от нахождения производной. Если речь идёт об ограждении у стены, аналогичное неравенство применяется к 2x+A/x; равенство требует 2x=A/x, то есть длина вдоль стены вдвое больше глубины.

В задачах о стоимости важно не путать метры забора с метрами квадратными площади. Заказчик покупает погонные метры материала, поэтому после нахождения P или L умножает именно длину на цену за метр. Если требуется сделать калитку, часть ограды заменяется проёмом, но сама ширина проёма должна быть не больше соответствующей стороны участка. Если есть угловые столбы, усиленные секции или цена зависит от стороны, это уже другая оптимизационная модель, которую нельзя выдавать за задачу о простой равномерной ограде.