Нахождение исходной суммы по округлённым данным опроса — проверочная работа по математике, 6 класс

Проверочная работа для 6 класса. В школьном опросе опубликованы не точные доли, а проценты, округлённые до целого процента. Задача — восстановить возможную исходную сумму ответов (общее число участников N) по числу голосов за один вариант. В отличие от обычной обратной задачи, иногда допустимо несколько целых N, и выдавать единственное число без проверки нельзя.

Памятка для печати: что означает округлённый процент

Если сообщено «31%» после округления до целого, до округления доля находилась в промежутке от 30,5% включительно до 31,5% не включительно. При стандартном правиле, что ровно половина округляется вверх, это записывается: 30,5 ≤ 100 · k/N < 31,5, где k — число ответов за один вариант, N — число всех участников. N должно быть целым и не меньше k. Уточнения «от … до … человек» позволяют получить один или несколько возможных ответов.

Разобранный пример: 25 голосов составили 31% опрошенных после округления, известно, что участвовали 79–82 человека. Проверяем N: при N = 79 доля 2500/79 ≈ 31,65%, округлится до 32%; при 80 — 31,25% → 31%; при 81 — 30,86% → 31%; при 82 — 30,49% → 30%. Следовательно, возможны 80 и 81 участник. По одним округлённым процентам нельзя выбрать один из них.

Вариант I. Восстановите число участников по округлённой доле

1. Опрос «Школьная библиотека»: за вариант проголосовали 28 учеников, в отчёте указано 31% (округление до целых). Общее число участников от 87 до 93. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
2. Опрос «Новая перемена»: за вариант проголосовали 17 учеников, в отчёте указано 27% (округление до целых). Общее число участников от 61 до 66. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
3. Опрос «Спортивная секция»: за вариант проголосовали 38 учеников, в отчёте указано 40% (округление до целых). Общее число участников от 91 до 98. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
4. Опрос «Школьный театр»: за вариант проголосовали 13 учеников, в отчёте указано 24% (округление до целых). Общее число участников от 52 до 57. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
5. Опрос «Книжная выставка»: за вариант проголосовали 42 учеников, в отчёте указано 38% (округление до целых). Общее число участников от 105 до 113. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
6. Опрос «Оформление класса»: за вариант проголосовали 31 учеников, в отчёте указано 39% (округление до целых). Общее число участников от 76 до 83. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
7. Опрос «Уголок отдыха»: за вариант проголосовали 19 учеников, в отчёте указано 26% (округление до целых). Общее число участников от 70 до 76. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
8. Опрос «Шахматный кружок»: за вариант проголосовали 36 учеников, в отчёте указано 30% (округление до целых). Общее число участников от 116 до 124. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.

Вариант II. Проверяем неоднозначные сведения

Во втором варианте перепроверяйте все целые значения N в указанном диапазоне. Если подходит более одного значения, правильный ответ должен содержать их все. Не заменяйте округлённые проценты точным равенством k/N = p/100: оно обычно приводит к дробному количеству людей.

1. Опрос «Праздник наук»: за вариант проголосовали 27 учеников, в отчёте указано 32% (округление до целых). Общее число участников от 81 до 87. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
2. Опрос «Зелёный двор»: за вариант проголосовали 49 учеников, в отчёте указано 38% (округление до целых). Общее число участников от 125 до 134. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
3. Опрос «Неделя творчества»: за вариант проголосовали 22 учеников, в отчёте указано 33% (округление до целых). Общее число участников от 64 до 70. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
4. Опрос «Музейная поездка»: за вариант проголосовали 33 учеников, в отчёте указано 34% (округление до целых). Общее число участников от 94 до 101. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
5. Опрос «Благотворительная ярмарка»: за вариант проголосовали 29 учеников, в отчёте указано 38% (округление до целых). Общее число участников от 72 до 80. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
6. Опрос «День профессий»: за вариант проголосовали 45 учеников, в отчёте указано 36% (округление до целых). Общее число участников от 121 до 129. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
7. Опрос «Летняя экскурсия»: за вариант проголосовали 16 учеников, в отчёте указано 27% (округление до целых). Общее число участников от 56 до 62. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.
8. Опрос «Школьное радио»: за вариант проголосовали 24 учеников, в отчёте указано 26% (округление до целых). Общее число участников от 89 до 95. Найдите все возможные исходные суммы N; запишите способ проверки.

Подробный ключ учителя

Вариант I

1. Доля для допустимых N: N = 89: ≈ 31,461%; N = 90: ≈ 31,111%; N = 91: ≈ 30,769%. После округления каждый вариант даёт 31%. Поэтому N = 89, 90, 91 — 3 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
2. Доля для допустимых N: N = 62: ≈ 27,419%; N = 63: ≈ 26,984%; N = 64: ≈ 26,562%. После округления каждый вариант даёт 27%. Поэтому N = 62, 63, 64 — 3 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
3. Доля для допустимых N: N = 94: ≈ 40,426%; N = 95: ≈ 40%; N = 96: ≈ 39,583%. После округления каждый вариант даёт 40%. Поэтому N = 94, 95, 96 — 3 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
4. Доля для допустимых N: N = 54: ≈ 24,074%; N = 55: ≈ 23,636%. После округления каждый вариант даёт 24%. Поэтому N = 54, 55 — 2 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
5. Доля для допустимых N: N = 110: ≈ 38,182%; N = 111: ≈ 37,838%; N = 112: ≈ 37,5%. После округления каждый вариант даёт 38%. Поэтому N = 110, 111, 112 — 3 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
6. Доля для допустимых N: N = 79: ≈ 39,241%; N = 80: ≈ 38,75%. После округления каждый вариант даёт 39%. Поэтому N = 79, 80 — 2 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
7. Доля для допустимых N: N = 72: ≈ 26,389%; N = 73: ≈ 26,027%; N = 74: ≈ 25,676%. После округления каждый вариант даёт 26%. Поэтому N = 72, 73, 74 — 3 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
8. Доля для допустимых N: N = 119: ≈ 30,252%; N = 120: ≈ 30%; N = 121: ≈ 29,752%; N = 122: ≈ 29,508%. После округления каждый вариант даёт 30%. Поэтому N = 119, 120, 121, 122 — 4 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.

Вариант II

1. Доля для допустимых N: N = 84: ≈ 32,143%; N = 85: ≈ 31,765%. После округления каждый вариант даёт 32%. Поэтому N = 84, 85 — 2 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
2. Доля для допустимых N: N = 128: ≈ 38,281%; N = 129: ≈ 37,984%; N = 130: ≈ 37,692%. После округления каждый вариант даёт 38%. Поэтому N = 128, 129, 130 — 3 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
3. Доля для допустимых N: N = 66: ≈ 33,333%; N = 67: ≈ 32,836%. После округления каждый вариант даёт 33%. Поэтому N = 66, 67 — 2 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
4. Доля для допустимых N: N = 96: ≈ 34,375%; N = 97: ≈ 34,021%; N = 98: ≈ 33,673%. После округления каждый вариант даёт 34%. Поэтому N = 96, 97, 98 — 3 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
5. Доля для допустимых N: N = 76: ≈ 38,158%; N = 77: ≈ 37,662%. После округления каждый вариант даёт 38%. Поэтому N = 76, 77 — 2 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
6. Доля для допустимых N: N = 124: ≈ 36,29%; N = 125: ≈ 36%; N = 126: ≈ 35,714%. После округления каждый вариант даёт 36%. Поэтому N = 124, 125, 126 — 3 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
7. Доля для допустимых N: N = 59: ≈ 27,119%; N = 60: ≈ 26,667%. После округления каждый вариант даёт 27%. Поэтому N = 59, 60 — 2 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.
8. Доля для допустимых N: N = 91: ≈ 26,374%; N = 92: ≈ 26,087%; N = 93: ≈ 25,806%; N = 94: ≈ 25,532%. После округления каждый вариант даёт 26%. Поэтому N = 91, 92, 93, 94 — 4 допустимых ответа; одного N без дополнительных данных не определить.

Почему проверка обязательна

Нельзя округлять количество людей: 80,6 участника — недопустимый результат, поскольку число опрошенных целое. Поэтому сначала определяют диапазон по доле, затем перечисляют целые N, а после вычисляют долю повторно для каждого из них. Самая распространённая ошибка — получить число N = k · 100/p и объявить округлённое значение точным. Для сообщения «31%» сама цифра 31 уже была округлена; в исходных данных нет точности до десятых долей процента.

За каждый пункт: 1 балл за правильное использование неравенства процентов, 1 балл за полный набор значений N и контроль обратным делением. Если у задачи несколько ответов, отсутствие хотя бы одного — неполное решение. Вопрос исследовательский: ученик должен объяснить, почему данных недостаточно для выбора одного целого значения.