Нахождение исходной суммы при изменении базы сравнения — тематические карточки для 6 класса

Тематические карточки, 6 класс. Быстрая диагностика: от какого числа берут процент — от исходной суммы или от новой? Именно смена базы сравнения делает обратные процентные задачи сложными. Для восстановления первоначальной суммы важно разделить новый результат на коэффициент изменения, а не вычесть из него тот же процент.

Три контрольных вопроса

1. Сумма 1000 тг увеличилась на 20%. Сколько процентов от новой суммы составляет само увеличение?
2. После уменьшения на 25% осталось 750 тг. Верно ли, что было 750 + 25% · 750 = 937,5 тг?
3. Новая сумма равна 110% старой. В отношении «старая : новая» чему равен второй член, если первый равен 100?

Новые задачи на восстановление исходной суммы

Во всех заданиях первоначальная сумма — это x, итог после изменения — y. Если итог увеличен на p%, x = y : (1 + p/100). Если итог уменьшен на p%, x = y : (1 − p/100). При записи промежуточного отношения укажите, какая из сумм является базой процента.

1. Первоначальную сумму увеличили на 25% от неё самой; стало 1500 тг. Найдите первоначальную сумму и объясните, относительно какой суммы считался процент.
2. Первоначальную сумму уменьшили на 20% от неё самой; стало 1920 тг. Найдите первоначальную сумму и объясните, относительно какой суммы считался процент.
3. Первоначальную сумму увеличили на 15% от неё самой; стало 1840 тг. Найдите первоначальную сумму и объясните, относительно какой суммы считался процент.
4. Первоначальную сумму уменьшили на 30% от неё самой; стало 2100 тг. Найдите первоначальную сумму и объясните, относительно какой суммы считался процент.
5. Первоначальную сумму увеличили на 40% от неё самой; стало 1050 тг. Найдите первоначальную сумму и объясните, относительно какой суммы считался процент.
6. Первоначальную сумму уменьшили на 10% от неё самой; стало 1620 тг. Найдите первоначальную сумму и объясните, относительно какой суммы считался процент.
7. Первоначальную сумму увеличили на 5% от неё самой; стало 4410 тг. Найдите первоначальную сумму и объясните, относительно какой суммы считался процент.
8. Первоначальную сумму уменьшили на 25% от неё самой; стало 4200 тг. Найдите первоначальную сумму и объясните, относительно какой суммы считался процент.
9. Первоначальную сумму увеличили на 12% от неё самой; стало 2800 тг. Найдите первоначальную сумму и объясните, относительно какой суммы считался процент.

Ключ, проверка и исправление ошибок

Контрольные вопросы

1. Увеличение равно 200 тг; новая сумма 1200 тг. 200 : 1200 · 100% = 16⅔%, а не 20%.
2. Неверно. 750 тг — 75% исходной суммы; исходная сумма 750 : 0,75 = 1000 тг.
3. 110; новая сумма — 110 частей при старой в 100 частей. Пропорция x : y = 100 : 110.

Девять практических задач

1. Изменение составляет 125% исходного значения. Пропорция x : 1500 = 100 : 125; x = 1500 : 1,25 = 1200 тг. Проверка: 1200 · 1,25 = 1500 тг.
2. Изменение составляет 80% исходного значения. Пропорция x : 1920 = 100 : 80; x = 1920 : 0,8 = 2400 тг. Проверка: 2400 · 0,8 = 1920 тг.
3. Изменение составляет 115% исходного значения. Пропорция x : 1840 = 100 : 115; x = 1840 : 1,15 = 1600 тг. Проверка: 1600 · 1,15 = 1840 тг.
4. Изменение составляет 70% исходного значения. Пропорция x : 2100 = 100 : 70; x = 2100 : 0,7 = 3000 тг. Проверка: 3000 · 0,7 = 2100 тг.
5. Изменение составляет 140% исходного значения. Пропорция x : 1050 = 100 : 140; x = 1050 : 1,4 = 750 тг. Проверка: 750 · 1,4 = 1050 тг.
6. Изменение составляет 90% исходного значения. Пропорция x : 1620 = 100 : 90; x = 1620 : 0,9 = 1800 тг. Проверка: 1800 · 0,9 = 1620 тг.
7. Изменение составляет 105% исходного значения. Пропорция x : 4410 = 100 : 105; x = 4410 : 1,05 = 4200 тг. Проверка: 4200 · 1,05 = 4410 тг.
8. Изменение составляет 75% исходного значения. Пропорция x : 4200 = 100 : 75; x = 4200 : 0,75 = 5600 тг. Проверка: 5600 · 0,75 = 4200 тг.
9. Изменение составляет 112% исходного значения. Пропорция x : 2800 = 100 : 112; x = 2800 : 1,12 = 2500 тг. Проверка: 2500 · 1,12 = 2800 тг.

Если после увеличения на 25% ученик вычитает 25% из новой суммы, он берёт процент от другой базы. Например, 1500 тг после увеличения на 25% соответствует 1200 тг изначально; 1500 − 375 = 1125 — неправильный ответ. Разница 300 тг составляет 25% от 1200, но только 20% от 1500. Деление на коэффициент 1,25 устраняет путаницу.

Самопроверка: 12 пунктов. За каждый контрольный вопрос можно получить 1 балл, за каждую новую задачу — 2 балла (верная пропорция и проверенный ответ). Если неверно выбрана база процента, решите сначала ту же задачу, взяв первоначальную сумму за 100%, и лишь затем выполните обратное действие.