Нахождение исходной суммы при увеличении и последующем уменьшении — диагностика ошибок, 6 класс

Исследовательский урок, 6 класс. Исследуем денежную сумму, которую сначала увеличили на процент от неё, а затем уменьшили на другой процент, но уже от нового значения. Отдельные проценты здесь нельзя просто складывать или вычитать. Наша цель — восстановить исходную сумму из конечной и доказать ответ обратной подстановкой.

Наблюдение: одинаковые проценты не отменяют друг друга

Возьмём 1000 тг. Увеличение на 20% даёт 1200 тг; уменьшение новой суммы на 20% составляет 240 тг, и остаётся 960 тг. Значит, +20% и −20% не возвращают прежнюю сумму: вторая база больше первой. Проверка: 1000 · 1,2 · 0,8 = 960. Итоговый множитель 0,96 означает уменьшение первоначального значения на 4%.

Сформулируйте правило до чтения решения: для увеличения на a% используется множитель (100 + a)/100, для последующего уменьшения на b% — (100 − b)/100. Если конечная сумма S известна, то исходная сумма x = S / [((100 + a)/100) · ((100 − b)/100)]. Второй процент относится к сумме после первой операции.

Контрпример к интуитивному правилу

Ученица утверждает: «Если сначала прибавить 25%, а потом отнять 25%, получится исходное число». Проверим на 800 тг: 800 · 1,25 = 1000; затем 1000 · 0,75 = 750 тг. Получилось на 50 тг меньше, или на 6,25% исходной суммы. Утверждение опровергнуто одним числовым примером. Теперь нужно не просто считать проценты, а обязательно знать их базу.

Задания: исследуйте обратную последовательность

1. Сумму сначала увеличили на 20%, затем уменьшили на 10% от получившейся суммы. В конце стало 1296 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
2. Сумму сначала увеличили на 25%, затем уменьшили на 20% от получившейся суммы. В конце стало 2400 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
3. Сумму сначала увеличили на 10%, затем уменьшили на 25% от получившейся суммы. В конце стало 1320 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
4. Сумму сначала увеличили на 15%, затем уменьшили на 10% от получившейся суммы. В конце стало 3105 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
5. Сумму сначала увеличили на 30%, затем уменьшили на 20% от получившейся суммы. В конце стало 832 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
6. Сумму сначала увеличили на 40%, затем уменьшили на 25% от получившейся суммы. В конце стало 1575 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
7. Сумму сначала увеличили на 5%, затем уменьшили на 20% от получившейся суммы. В конце стало 1680 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
8. Сумму сначала увеличили на 25%, затем уменьшили на 10% от получившейся суммы. В конце стало 2025 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
9. Сумму сначала увеличили на 20%, затем уменьшили на 30% от получившейся суммы. В конце стало 3360 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
10. Сумму сначала увеличили на 10%, затем уменьшили на 40% от получившейся суммы. В конце стало 2376 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.
11. Сумму сначала увеличили на 16%, затем уменьшили на 25% от получившейся суммы. В конце стало 2175 тг. Найдите исходную сумму x, запишите оба коэффициента, затем проверьте результат прямым вычислением.

Подробные обратные проверки

1. Коэффициент итогового изменения: 1,2 · 0,9 = 1,08. Исходная сумма x = 1296 : 1,08 = 1200 тг. Прямой контроль: 1200 → 1440 после повышения → 1296 тг после снижения.
2. Коэффициент итогового изменения: 1,25 · 0,8 = 1. Исходная сумма x = 2400 : 1 = 2400 тг. Прямой контроль: 2400 → 3000 после повышения → 2400 тг после снижения.
3. Коэффициент итогового изменения: 1,1 · 0,75 = 0,825. Исходная сумма x = 1320 : 0,825 = 1600 тг. Прямой контроль: 1600 → 1760 после повышения → 1320 тг после снижения.
4. Коэффициент итогового изменения: 1,15 · 0,9 = 1,035. Исходная сумма x = 3105 : 1,035 = 3000 тг. Прямой контроль: 3000 → 3450 после повышения → 3105 тг после снижения.
5. Коэффициент итогового изменения: 1,3 · 0,8 = 1,04. Исходная сумма x = 832 : 1,04 = 800 тг. Прямой контроль: 800 → 1040 после повышения → 832 тг после снижения.
6. Коэффициент итогового изменения: 1,4 · 0,75 = 1,05. Исходная сумма x = 1575 : 1,05 = 1500 тг. Прямой контроль: 1500 → 2100 после повышения → 1575 тг после снижения.
7. Коэффициент итогового изменения: 1,05 · 0,8 = 0,84. Исходная сумма x = 1680 : 0,84 = 2000 тг. Прямой контроль: 2000 → 2100 после повышения → 1680 тг после снижения.
8. Коэффициент итогового изменения: 1,25 · 0,9 = 1,125. Исходная сумма x = 2025 : 1,125 = 1800 тг. Прямой контроль: 1800 → 2250 после повышения → 2025 тг после снижения.
9. Коэффициент итогового изменения: 1,2 · 0,7 = 0,84. Исходная сумма x = 3360 : 0,84 = 4000 тг. Прямой контроль: 4000 → 4800 после повышения → 3360 тг после снижения.
10. Коэффициент итогового изменения: 1,1 · 0,6 = 0,66. Исходная сумма x = 2376 : 0,66 = 3600 тг. Прямой контроль: 3600 → 3960 после повышения → 2376 тг после снижения.
11. Коэффициент итогового изменения: 1,16 · 0,75 = 0,87. Исходная сумма x = 2175 : 0,87 = 2500 тг. Прямой контроль: 2500 → 2900 после повышения → 2175 тг после снижения.

Разберите три ошибочных решения

Ошибка 1: вычли проценты. Если начальная сумма выросла на 40%, а потом упала на 25%, ученик пишет «рост на 15%». На самом деле коэффициент 1,4 · 0,75 = 1,05, то есть рост только на 5%. Основа второго процента уже больше исходной суммы.

Ошибка 2: вернули уменьшение простым прибавлением. Если после уменьшения на 20% осталось 960 тг, было не 960 · 1,2 = 1152, а 960 : 0,8 = 1200 тг непосредственно до уменьшения. Затем можно обратить и первое действие.

Ошибка 3: перепутали порядок базы. Множители итогового коэффициента можно переставлять арифметически, но нельзя объяснять второй процент как взятый от первоначального значения. Правильный промежуточный шаг показывает, почему проценты в условии связаны с двумя разными суммами.

Результат исследования

Результат двух операций равен исходной сумме, умноженной на произведение коэффициентов. Когда произведение меньше 1 — итог уменьшился, когда больше 1 — увеличился, когда равен 1 — совпал с исходным. В данных заданиях все коэффициенты положительны и не равны нулю (уменьшение меньше 100%), поэтому восстановление исходной суммы однозначно. Проверяйте решение прямым ходом, а не только делением двух чисел.

Критерии для самостоятельной оценки: 2 балла за наблюдение и его объяснение, 2 балла за контрпример, по 2 балла за каждый числовой пункт (пропорциональные коэффициенты + проверка). Если ошиблись в вычислении процента, отметьте, от какой суммы вы его считали; именно эта запись чаще всего показывает причину ошибки.