Нахождение конца отрезка по середине и другому концу: примеры и объяснения для 9 класса
Прикладной кейс по аналитической геометрии, 9 класс. Середина M отрезка AB известна, как и один конец A. Нужно восстановить другой конец B. Обратная формула получается из xM=(xA+xB)/2: xB=2xM−xA; аналогично yB=2yM−yA. Это не задача о длине отрезка: вычисляются обе координаты неизвестной точки.
Содержание статьи5 разделов
Кейс: план школьной территории
На схеме точки заданы в метрах относительно входа в здание: ось x направлена на восток, ось y — на север. Положительное и отрицательное направления имеют смысл. Известно, где находится один край дорожки A, и место её середины M; надо найти второй край B и проверить его положение.
| Случай | Известный конец A | Середина M | Единица каждой координаты |
|---|---|---|---|
| 1 | (2; 3) | (5; 7) | метры |
| 2 | (−4; 6) | (1; 2) | метры |
| 3 | (9; −3) | (0; 0) | метры |
| 4 | (1/2; −1) | (3/2; 2) | километры |
| 5 | (7; 7) | (7; −2) | метры |
| 6 | (−2; −8) | (−5; −3) | метры |
| 7 | (4; −1) | (6; −1) | метры |
| 8 | (0; 5) | (−3; 5) | метры |
| 9 | (12; 0) | (4; −7) | метры |
| 10 | (−1,5; 2,5) | (0,5; −0,5) | метры |
| 11 | (2; 5) | (2; 5) | метры |
| 12 | (−6; 4) | (3; −2) | метры |
Задачи к таблице
1–4. Ориентир и единицы. Для каждого из случаев 1–4 найдите B по двум формулам, а затем укажите, в каких единицах записан результат. В случае 4 не смешивайте километры и метры без перевода.
5–8. Геометрическая проверка. Восстановите B для случаев 5–8. Объясните, какую координату сохраняет вертикальная дорожка (случай 5) и какую — горизонтальная (случаи 7–8). Если A и M имеют одинаковую x-координату, то B тоже должен иметь её.
9–12. Пограничные ситуации. Найдите B в случаях 9–12, а для случая 11 объясните, почему совпадение концов не приводит к противоречию. В случае 10 учитывайте десятичные дроби с запятой.
В каждом ответе указывайте три элемента: вычисленную точку, проверку через формулу середины и единицу координат. Если в таблице написаны «метры», полученная точка тоже выражена в метрах.
Полный ключ к кейсу
| Случай | Искомый конец | Проверка и пояснение |
|---|---|---|
| 1 | B(8; 11) м | 2·5−2=8; 2·7−3=11. Среднее (2+8)/2=5, (3+11)/2=7. |
| 2 | B(6; −2) м | 2·1−(−4)=6; 2·2−6=−2. Середина: (−4+6)/2=1, (6−2)/2=2. |
| 3 | B(−9; 3) м | 2·0−9=−9; 2·0−(−3)=3. Проверка: (9−9)/2=0, (−3+3)/2=0. |
| 4 | B(5/2; 5) км | 2·3/2−1/2=5/2; 2·2−(−1)=5. Среднее (1/2+5/2)/2=3/2, (−1+5)/2=2. |
| 5 | B(7; −11) м | 2·7−7=7; 2·(−2)−7=−11. Обе точки с x=7; середина ординат (7−11)/2=−2. |
| 6 | B(−8; 2) м | 2·(−5)−(−2)=−8; 2·(−3)−(−8)=2. Среднее (−2−8)/2=−5, (−8+2)/2=−3. |
| 7 | B(8; −1) м | 2·6−4=8; 2·(−1)−(−1)=−1. y одинаков у всех трёх точек. |
| 8 | B(−6; 5) м | 2·(−3)−0=−6; 2·5−5=5. Средняя x: (0−6)/2=−3. |
| 9 | B(−4; −14) м | 2·4−12=−4; 2·(−7)−0=−14. Среднее (12−4)/2=4 и (0−14)/2=−7. |
| 10 | B(2,5; −3,5) м | 2·0,5−(−1,5)=2,5; 2·(−0,5)−2,5=−3,5. Средняя координата: (−1,5+2,5)/2=0,5; (2,5−3,5)/2=−0,5. |
| 11 | B(2; 5) м | 2·2−2=2; 2·5−5=5. Нулевой отрезок допустим в алгебраической модели: все точки совпали. |
| 12 | B(12; −8) м | 2·3−(−6)=12; 2·(−2)−4=−8. Проверка: (−6+12)/2=3, (4−8)/2=−2. |
Что модель сообщает о местности
Возьмём случай 2: B(6; −2) м расположен на 6 м восточнее и на 2 м южнее начала координат; A(−4; 6) м — на 4 м западнее и 6 м севернее. Их середина M(1; 2) м не обязана лежать в начале координат. Следовательно, выражение «симметрия относительно середины» означает, что приращения от A до M и от M до B равны, а не что координаты A и B имеют противоположные знаки.
Для случая 4 координаты в километрах: B(2,5; 5) км. Если требуется ответ в метрах, обе координаты нужно умножить на 1000 и получить B(2500; 5000) м. Нельзя переводить только одну из них.
Завершающая проверка: при двух известных точках A и M другой конец B восстанавливается единственным образом, потому что формулы дают однозначные xB и yB. Если совпали A и M, получаем B=A — случай 11 не является ошибкой вычислений. Если исходные данные противоречили бы требованию ненулевой длины дорожки, такой случай нужно было бы отдельно исключить по условию, но здесь требование ненулевой длины не задано.
Почему удвоение середины работает
Рассмотрим только координату x: середина — среднее арифметическое двух концов. Умножив xM=(xA+xB)/2 на 2 и перенеся xA вправо, получаем xB=2xM−xA. Тот же вывод не зависит от того, положительна ли координата y; даже если точка расположена ниже горизонтальной оси, операция выполняется так же. Отсюда важное правило: нельзя восстанавливать неизвестный конец простым отражением A относительно начала координат, если середина M не совпадает с началом.
Например, если A(−2; 4) м, а M(3; −1) м, то B(8; −6) м. Проверка по двум координатам: (−2+8)/2=3 и (4−6)/2=−1. Вектор от A до M равен (5; −5) м; точно такой же вектор от M до B. Полученное положение B определено однозначно, а не зависит от того, как начертить отрезок.
В планах местности важно записывать систему координат и единицы. Координаты в условных клетках нельзя автоматически называть метрами без масштаба. Если клетка соответствует 2 м, сначала можно вычислить B в клетках и потом перевести обе координаты в метры. Если одна точка задана в километрах, а другая в метрах, сначала приводят всё к единым единицам. Такое согласование необходимо для проверок расстояний и направлений.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.