Нахождение наименьшего подходящего числа при фиксированной сумме цифр — упражнения разной сложности, 5 класс

Математика, 5 класс. Рабочий лист на 18 заданий: два варианта для печати и аргументированный ключ.

Памятка перед работой

Нужно найти самое маленькое число, а не просто подходящее. Сначала устанавливаем его разрядность: у трёхзначного числа первая цифра не равна нулю. Затем используем сумму цифр и признак делимости. Для кратности 2 нужна чётная последняя цифра, для 5 — окончание 0 или 5, для 3 и 9 — соответствующая сумма цифр, для 4 — две последние цифры, образующие число, кратное 4.

Удобно сравнивать числа слева направо: сначала пробуйте наименьшую допустимую первую цифру, затем следующую. Если ближайшее число нарушает условие, переходите к следующему. Каждая карточка самостоятельна; записи «цифры не повторяются» и «все цифры нечётные» относятся только к названному заданию.

Вариант I · самостоятельная работа

Решите задания 1–9. В ответе запишите число, проверку суммы цифр и проверку делимости.

1. Найдите наименьшее 2-значное натуральное число с суммой цифр 7, кратное 2.
2. Найдите наименьшее 2-значное натуральное число с суммой цифр 11, кратное 5.
3. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 8, кратное 4.
4. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 12, кратное 3.
5. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 15, кратное 5.
6. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 17, кратное 2.
7. Найдите наименьшее 4-значное натуральное число с суммой цифр 9, кратное 9.
8. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 19, кратное 5.
9. Найдите наименьшее 4-значное натуральное число с суммой цифр 16, кратное 4.

Вариант II · задания с дополнительными условиями

Решите задания 10–18. Для этого варианта особенно важно доказать минимальность: сравните найденное число с меньшими кандидатами, которые сохраняют требуемую сумму цифр.

10. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 10, кратное 2. Цифры не повторяются.
11. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 14, кратное 5. Цифры не повторяются.
12. Найдите наименьшее 4-значное натуральное число с суммой цифр 12, кратное 2. Цифры не повторяются.
13. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 15, кратное 3. Все цифры нечётные.
14. Найдите наименьшее 4-значное натуральное число с суммой цифр 18, кратное 5. Цифры не повторяются.
15. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 13, кратное 4. Цифры не повторяются.
16. Найдите наименьшее 4-значное натуральное число с суммой цифр 21, кратное 3. Цифры не повторяются.
17. Найдите наименьшее 3-значное натуральное число с суммой цифр 20, кратное 2. Цифры не повторяются.
18. Найдите наименьшее 4-значное натуральное число с суммой цифр 14, кратное 5. Цифры не повторяются.

Подробный ключ для учителя

Ключ содержит не только ответы, но и объяснение, почему число нельзя уменьшить. Формулировка о переборе означает перебор возможных чисел данной разрядности, а не случайный подбор. Для печати ученикам достаточно двух вариантов, решения можно оставить для проверки.

Ответы к варианту I

1. 16. Проверка: сумма цифр 16 равна 7; 16 : 2 = 8 без остатка. В порядке возрастания перед ответом находится 0 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 2.
2. 65. Проверка: сумма цифр 65 равна 11; 65 : 5 = 13 без остатка. В порядке возрастания перед ответом находится 4 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 5. Ближайшие перед ответом кандидаты: 47 (не делится на 5), 56 (не делится на 5).
3. 116. Проверка: сумма цифр 116 равна 8; 116 : 4 = 29 без остатка. В порядке возрастания перед ответом находится 1 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 4. Ближайшие перед ответом кандидаты: 107 (не делится на 4).
4. 129. Проверка: сумма цифр 129 равна 12; 129 : 3 = 43 без остатка. В порядке возрастания перед ответом находится 0 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 3.
5. 195. Проверка: сумма цифр 195 равна 15; 195 : 5 = 39 без остатка. В порядке возрастания перед ответом находится 4 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 5. Ближайшие перед ответом кандидаты: 177 (не делится на 5), 186 (не делится на 5).
6. 188. Проверка: сумма цифр 188 равна 17; 188 : 2 = 94 без остатка. В порядке возрастания перед ответом находится 1 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 2. Ближайшие перед ответом кандидаты: 179 (не делится на 2).
7. 1008. Проверка: сумма цифр 1008 равна 9; 1008 : 9 = 112 без остатка. В порядке возрастания перед ответом находится 0 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 9.
8. 595. Проверка: сумма цифр 595 равна 19; 595 : 5 = 119 без остатка. В порядке возрастания перед ответом находится 14 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 5. Ближайшие перед ответом кандидаты: 577 (не делится на 5), 586 (не делится на 5).
9. 1096. Проверка: сумма цифр 1096 равна 16; 1096 : 4 = 274 без остатка. В порядке возрастания перед ответом находится 3 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 4. Ближайшие перед ответом кандидаты: 1078 (не делится на 4), 1087 (не делится на 4).

Ответы к варианту II

10. 136. Проверка: сумма цифр 136 равна 10; 136 : 2 = 68 без остатка. Все цифры различны. В порядке возрастания перед ответом находится 3 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 2 или ограничение на цифры. Ближайшие перед ответом кандидаты: 118 (не выполняется ограничение на цифры), 127 (не делится на 2).
11. 185. Проверка: сумма цифр 185 равна 14; 185 : 5 = 37 без остатка. Все цифры различны. В порядке возрастания перед ответом находится 4 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 5 или ограничение на цифры. Ближайшие перед ответом кандидаты: 167 (не делится на 5), 176 (не делится на 5).
12. 1038. Проверка: сумма цифр 1038 равна 12; 1038 : 2 = 519 без остатка. Все цифры различны. В порядке возрастания перед ответом находится 1 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 2 или ограничение на цифры. Ближайшие перед ответом кандидаты: 1029 (не делится на 2).
13. 159. Проверка: сумма цифр 159 равна 15; 159 : 3 = 53 без остатка. Каждая цифра нечётна. В порядке возрастания перед ответом находится 0 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 3 или ограничение на цифры.
14. 1395. Проверка: сумма цифр 1395 равна 18; 1395 : 5 = 279 без остатка. Все цифры различны. В порядке возрастания перед ответом находится 13 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 5 или ограничение на цифры. Ближайшие перед ответом кандидаты: 1377 (не делится на 5 и не выполняется ограничение на цифры), 1386 (не делится на 5).
15. 148. Проверка: сумма цифр 148 равна 13; 148 : 4 = 37 без остатка. Все цифры различны. В порядке возрастания перед ответом находится 1 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 4 или ограничение на цифры. Ближайшие перед ответом кандидаты: 139 (не делится на 4).
16. 1389. Проверка: сумма цифр 1389 равна 21; 1389 : 3 = 463 без остатка. Все цифры различны. В порядке возрастания перед ответом находится 1 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 3 или ограничение на цифры. Ближайшие перед ответом кандидаты: 1299 (не выполняется ограничение на цифры).
17. 398. Проверка: сумма цифр 398 равна 20; 398 : 2 = 199 без остатка. Все цифры различны. В порядке возрастания перед ответом находится 2 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 2 или ограничение на цифры. Ближайшие перед ответом кандидаты: 299 (не делится на 2 и не выполняется ограничение на цифры), 389 (не делится на 2).
18. 1085. Проверка: сумма цифр 1085 равна 14; 1085 : 5 = 217 без остатка. Все цифры различны. В порядке возрастания перед ответом находится 4 чисел той же разрядности с заданной суммой цифр; каждое из них нарушает условие кратности 5 или ограничение на цифры. Ближайшие перед ответом кандидаты: 1067 (не делится на 5), 1076 (не делится на 5).

Если ребёнок нашёл подходящее, но не наименьшее число, попросите его сравнить первые разряды двух кандидатов. Если ошибка связана с делимостью, проверьте последний разряд либо сумму цифр. В задании на неповторяющиеся цифры нельзя считать одинаковые цифры допустимыми только потому, что они стоят в разных разрядах.