Нахождение наименьшего подходящего числа при условии на последние две цифры: задания с разбором, 5 класс

Математика, 5 класс. Исследовательский урок: 14 задач о наименьшем числе с заданными двумя последними цифрами.

Наблюдение: что сообщает окончание числа?

Всякое целое число, оканчивающееся на две заданные цифры, можно записать как 100·a + r, где r — двузначное окончание от 00 до 99, а a — неотрицательная целая часть слева. Если число должно быть трёхзначным, a принимает значения 1–9. Для четырёхзначного числа a находится от 10 до 99. Такая запись позволяет исследовать кандидатов по порядку без бессистемного перебора.

Для делимости на 4 достаточно двух последних цифр; на 8 — последних трёх; на 3 и 9 проверяют сумму всех цифр. Для делимости на 12 нужны одновременно признаки для 3 и 4. В задачах с ограничением «не меньше» или «не меньше заданного порога» проверка начинается с порога, но искомое число обязано иметь указанное окончание.

Проба перед исследованием

Трёхзначное число оканчивается на 28 и делится на 3. Число 128 не подходит: 1 + 2 + 8 = 11. Число 228 подходит: 2 + 2 + 8 = 12, кратно 3. Поэтому ответ 228; первое число с нужным окончанием было проверено и отвергнуто.

Шаг 1 · сформулируйте закономерность

• Почему при добавлении 100 число сохраняет последние две цифры?
• Может ли одно и то же окончание гарантировать делимость на 4, но не на 8? Приведите контрпример: 132 делится на 4, но не на 8, а 232 делится на 8.
• Чем отличается поиск просто подходящего числа от поиска наименьшего? Почему нельзя остановиться на первом случайно выбранном кандидате?

Шаг 2 · исследовательские задачи

Для каждого пункта найдите минимальное число указанной разрядности. Запишите число в виде 100·a + r, проверьте делимость и объясните, почему меньшие варианты невозможны.

1. Найдите наименьшее число. Число из 3 цифр оканчивается на 28 и делится на 3.
2. Найдите наименьшее число. Число из 3 цифр оканчивается на 56 и делится на 9.
3. Найдите наименьшее число. Число из 3 цифр оканчивается на 32 и делится на 8.
4. Найдите наименьшее число. Число из 3 цифр оканчивается на 75 и делится на 15.
5. Найдите наименьшее число. Число из 3 цифр оканчивается на 40 и делится на 6.
6. Найдите наименьшее число. Число из 3 цифр оканчивается на 16 и делится на 4.
7. Найдите наименьшее число. Число из 3 цифр оканчивается на 48 и делится на 12.
8. Найдите наименьшее число. Число из 4 цифр оканчивается на 64 и делится на 8.
9. Найдите наименьшее число. Число из 4 цифр оканчивается на 20 и делится на 9.
10. Найдите наименьшее число. Число из 4 цифр оканчивается на 35 и делится на 15.
11. Найдите наименьшее число. Число из 4 цифр оканчивается на 72 и делится на 8. Число не меньше 2600.
12. Найдите наименьшее число. Число из 4 цифр оканчивается на 84 и делится на 6. Число не меньше 3400.
13. Найдите наименьшее число. Число из 4 цифр оканчивается на 50 и делится на 25. Число не меньше 2400. Дополнительно: нечётная первая цифра.
14. Найдите наименьшее число. Число из 4 цифр оканчивается на 96 и делится на 12. Число не меньше 4500.

Проверка наблюдения на контрпримерах

Ученик рассуждает: «Если окончание 16 делится на 8, то любое число с окончанием 16 делится на 8». Это неверно: 216 делится на 8, а 116 даёт остаток 4 при делении на 8. Следовательно, для 8 рассматривают три, а не две последние цифры.

Другое ошибочное правило: «Если две последние цифры равны 50, число автоматически делится на 25 и на 3». Первая часть верна, вторая нет: 150 кратно 3, а 250 — нет. Ограничение на последние две цифры не заменяет проверку суммы цифр.

Ответы и математическое обоснование

1. 228 = 100·2 + 28; 228 = 3·76. Предыдущий допустимый по окончанию кандидат 128 не делится на 3.
2. 756 = 100·7 + 56; 756 = 9·84. Предыдущий допустимый по окончанию кандидат 656 не делится на 9. Всего меньших кандидатов после нижней границы — 6, и ни один не удовлетворяет делимости.
3. 232 = 100·2 + 32; 232 = 8·29. Предыдущий допустимый по окончанию кандидат 132 не делится на 8.
4. 375 = 100·3 + 75; 375 = 15·25. Предыдущий допустимый по окончанию кандидат 275 не делится на 15. Всего меньших кандидатов после нижней границы — 2, и ни один не удовлетворяет делимости.
5. 240 = 100·2 + 40; 240 = 6·40. Предыдущий допустимый по окончанию кандидат 140 не делится на 6.
6. 116 = 100·1 + 16; 116 = 4·29. Это первый кандидат с требуемым окончанием, разрядностью и дополнительными ограничениями.
7. 348 = 100·3 + 48; 348 = 12·29. Предыдущий допустимый по окончанию кандидат 248 не делится на 12. Всего меньших кандидатов после нижней границы — 2, и ни один не удовлетворяет делимости.
8. 1064 = 100·10 + 64; 1064 = 8·133. Это первый кандидат с требуемым окончанием, разрядностью и дополнительными ограничениями.
9. 1620 = 100·16 + 20; 1620 = 9·180. Предыдущий допустимый по окончанию кандидат 1520 не делится на 9. Всего меньших кандидатов после нижней границы — 6, и ни один не удовлетворяет делимости.
10. 1035 = 100·10 + 35; 1035 = 15·69. Это первый кандидат с требуемым окончанием, разрядностью и дополнительными ограничениями.
11. 2672 = 100·26 + 72; 2672 = 8·334. Это первый кандидат с требуемым окончанием, разрядностью и дополнительными ограничениями.
12. 3684 = 100·36 + 84; 3684 = 6·614. Предыдущий допустимый по окончанию кандидат 3584 не делится на 6. Всего меньших кандидатов после нижней границы — 2, и ни один не удовлетворяет делимости.
13. 3050 = 100·30 + 50; 3050 = 25·122. Это первый кандидат с требуемым окончанием, разрядностью и дополнительными ограничениями. Первая цифра нечётная.
14. 4596 = 100·45 + 96; 4596 = 12·383. Это первый кандидат с требуемым окончанием, разрядностью и дополнительными ограничениями.

Обсудите итог: во всех задачах проверяются два условия, а иногда и третье. Правильная последняя пара цифр не означает, что выполнена требуемая делимость; делимость ещё не доказывает, что найдено наименьшее число. Именно эти три проверки составляют полноценное решение.