Нахождение неизвестного члена отношения с переводом сантиметров в метры — карточки с ответами, 6 класс

Цель: найти неизвестную длину как член отношения двух однородных величин, если одна длина дана в сантиметрах, а другая — в метрах. Не путайте отношение длин с их суммой или с масштабом чертежа.

Порядок работы: перевести обе длины в одну единицу, записать отношение как частное, выполнить умножение и деление, затем проверить найденный член обратной подстановкой. Напоминание: 1 м = 100 см; a : b = c : d означает a/b = c/d при ненулевых b и d. Для длин все значения положительны.

Разобранный пример

Дано 180 см : x м = 3 : 2. Переводим 180 см = 1,8 м. Тогда 1,8 : x = 3 : 2, откуда x = 1,8 · 2 : 3 = 1,2 м. Проверка: 1,8 : 1,2 = 1,5 и 3 : 2 = 1,5. Ошибочный ответ 120 м возникает, если забыть деление сантиметров на 100.

Первый уровень — одно неизвестное, ответы в метрах

Решите задания 1–8 без калькулятора. Во всех равенствах x обозначает длину в метрах, а не безразмерное число сантиметров.

1. 180 см : x м = 3 : 2. Найдите неизвестную длину x в метрах.
2. 240 см : x м = 4 : 3. Найдите неизвестную длину x в метрах.
3. 350 см : x м = 7 : 4. Найдите неизвестную длину x в метрах.
4. 450 см : x м = 9 : 2. Найдите неизвестную длину x в метрах.
5. 75 см : x м = 3 : 5. Найдите неизвестную длину x в метрах.
6. 560 см : x м = 8 : 7. Найдите неизвестную длину x в метрах.
7. 625 см : x м = 5 : 4. Найдите неизвестную длину x в метрах.
8. 96 см : x м = 4 : 5. Найдите неизвестную длину x в метрах.

Второй уровень — неизвестное в сантиметрах

В заданиях 9–16 неизвестная величина — сантиметры. На этот раз известную длину в метрах сначала переведите в сантиметры: например, 1,5 м = 150 см. Не сокращайте разные единицы как одинаковые.

9. x см : 1,5 м = 2 : 3. Найдите x в сантиметрах; покажите перевод известных метров.
10. x см : 2,25 м = 4 : 5. Найдите x в сантиметрах; покажите перевод известных метров.
11. x см : 1,4 м = 5 : 7. Найдите x в сантиметрах; покажите перевод известных метров.
12. x см : 3,2 м = 3 : 4. Найдите x в сантиметрах; покажите перевод известных метров.
13. x см : 1,25 м = 4 : 5. Найдите x в сантиметрах; покажите перевод известных метров.
14. x см : 1,8 м = 5 : 6. Найдите x в сантиметрах; покажите перевод известных метров.
15. x см : 2,7 м = 2 : 3. Найдите x в сантиметрах; покажите перевод известных метров.
16. x см : 2,75 м = 3 : 5. Найдите x в сантиметрах; покажите перевод известных метров.

Третий уровень — отношения в текстовых задачах

Задания 17–24 состоят из нескольких шагов: после нахождения неизвестной длины иногда требуется сумма, разность или перевод результата обратно в сантиметры. Пишите единицу после каждого ответа.

17. На уроке моделирования длина синей рейки равна 180 см, а отношение синей к зелёной составляет 3 : 5. Чему равна длина зелёной рейки в метрах?
18. В мастерской отрезок шнура длиной 250 см относится к другому отрезку как 5 : 3. Найдите второй в метрах и общую длину двух отрезков.
19. Две ленты имеют отношение длин 4 : 7. Первая длиной 144 см. Какова в метрах разность длин второй и первой?
20. Длина короткой планки 275 см; отношение короткой к длинной — 5 : 8. Какова длина длинной планки в метрах?
21. В конструкции стойка длиной 360 см относится к поперечине как 9 : 4. Определите поперечину в метрах и разность длин.
22. На школьной выставке узкая панель имеет длину 84 см, отношение её длины к широкой панели 2 : 7. Найдите широкую панель в метрах.
23. Длина первой ленты 225 см, а отношение первой ко второй — 3 : 8. Определите общую длину обеих лент в метрах.
24. Отношение длин первой и второй трубок 6 : 5. Первая — 132 см. Найдите вторую в метрах, затем определите, на сколько сантиметров первая длиннее.

Ключ: ответы и полный ход проверки

Решения сгруппированы в том же порядке, что и задания. Результаты дробных вычислений приведены без ненужного округления. Это важно: преждевременное округление может испортить точное отношение.

1. x = (180 : 100) · 2 : 3 = 1,2 м. Обратная проверка: 1,8 м : 1,2 м = 3 : 2.
2. x = (240 : 100) · 3 : 4 = 1,8 м. Обратная проверка: 2,4 м : 1,8 м = 4 : 3.
3. x = (350 : 100) · 4 : 7 = 2 м. Обратная проверка: 3,5 м : 2 м = 7 : 4.
4. x = (450 : 100) · 2 : 9 = 1 м. Обратная проверка: 4,5 м : 1 м = 9 : 2.
5. x = (75 : 100) · 5 : 3 = 1,25 м. Обратная проверка: 0,75 м : 1,25 м = 3 : 5.
6. x = (560 : 100) · 7 : 8 = 4,9 м. Обратная проверка: 5,6 м : 4,9 м = 8 : 7.
7. x = (625 : 100) · 4 : 5 = 5 м. Обратная проверка: 6,25 м : 5 м = 5 : 4.
8. x = (96 : 100) · 5 : 4 = 1,2 м. Обратная проверка: 0,96 м : 1,2 м = 4 : 5.
9. 1,5 м = 150 см; x = 150 · 2 : 3 = 100 см. Проверка: 100 : 150 = 2 : 3.
10. 2,25 м = 225 см; x = 225 · 4 : 5 = 180 см. Проверка: 180 : 225 = 4 : 5.
11. 1,4 м = 140 см; x = 140 · 5 : 7 = 100 см. Проверка: 100 : 140 = 5 : 7.
12. 3,2 м = 320 см; x = 320 · 3 : 4 = 240 см. Проверка: 240 : 320 = 3 : 4.
13. 1,25 м = 125 см; x = 125 · 4 : 5 = 100 см. Проверка: 100 : 125 = 4 : 5.
14. 1,8 м = 180 см; x = 180 · 5 : 6 = 150 см. Проверка: 150 : 180 = 5 : 6.
15. 2,7 м = 270 см; x = 270 · 2 : 3 = 180 см. Проверка: 180 : 270 = 2 : 3.
16. 2,75 м = 275 см; x = 275 · 3 : 5 = 165 см. Проверка: 165 : 275 = 3 : 5.
17. Сначала 180 см = 1,8 м. Неизвестный член отношения равен 1,8 · 5 : 3 = 3 м; 3 м. Проверка отношения: 1,8 : 3 = 3 : 5.
18. Сначала 250 см = 2,5 м. Неизвестный член отношения равен 2,5 · 3 : 5 = 1,5 м; 1,5 м; вместе 4 м. Проверка отношения: 2,5 : 1,5 = 5 : 3.
19. Сначала 144 см = 1,44 м. Неизвестный член отношения равен 1,44 · 7 : 4 = 2,52 м; вторая 2,52 м; разность 1,08 м. Проверка отношения: 1,44 : 2,52 = 4 : 7.
20. Сначала 275 см = 2,75 м. Неизвестный член отношения равен 2,75 · 8 : 5 = 4,4 м; 4,4 м. Проверка отношения: 2,75 : 4,4 = 5 : 8.
21. Сначала 360 см = 3,6 м. Неизвестный член отношения равен 3,6 · 4 : 9 = 1,6 м; поперечина 1,6 м; разность 2 м. Проверка отношения: 3,6 : 1,6 = 9 : 4.
22. Сначала 84 см = 0,84 м. Неизвестный член отношения равен 0,84 · 7 : 2 = 2,94 м; 2,94 м. Проверка отношения: 0,84 : 2,94 = 2 : 7.
23. Сначала 225 см = 2,25 м. Неизвестный член отношения равен 2,25 · 8 : 3 = 6 м; 6 м; вместе 8,25 м. Проверка отношения: 2,25 : 6 = 3 : 8.
24. Сначала 132 см = 1,32 м. Неизвестный член отношения равен 1,32 · 5 : 6 = 1,1 м; вторая 1,1 м; разность 22 см. Проверка отношения: 1,32 : 1,1 = 6 : 5.

Почему перевод единиц выполняют до составления отношения

Нельзя сравнивать 180 и 1,2 как однородные длины, пока не указано, что первое число задано в сантиметрах, а второе — в метрах. Две корректные записи 180 см : 120 см = 3 : 2 и 1,8 м : 1,2 м = 3 : 2 совпадают; запись 180 : 1,2 = 150 сама по себе относится к несогласованным единицам и не может подменять отношение 3 : 2.

На проверке сначала убедитесь, что найденная длина положительная. Затем переведите её в ту же единицу, что и данная, и сравните частные. При вычислении суммы или разности нельзя смешивать «метры» и «сантиметры» без перевода. В учебной работе допустима дробь вместо десятичной записи, если она выражает ту же точную длину.

Дополнительная проверка рассуждения

Для задачи 19 удобно объяснить знак разности заранее: при отношении 4 : 7 вторая лента длиннее первой, поэтому нужно вычитать меньшую длину из большей. Для задачи 21 отношение 9 : 4 указывает на более длинную первую стойку, и порядок вычитания меняется. Оба примера требуют не механической пропорции, а оценки смысла итоговой величины.

Учителю: на первом уровне оценивайте правильность перевода и решения по одному баллу, на втором — также единицы ответа, на третьем — логичность последнего шага. Ученик, получивший правильное число без согласования единиц, должен исправить оформление, потому что в иных данных случайно совпасть результат не сможет.