Нахождение неизвестного коэффициента на координатной сетке — тренажёр для 9 класса

Класс: 9. Тема: Поиск коэффициента масштабирования двух векторов на координатной сетке

Сетка с координатами: коэффициент находится по перемещениям

На клетчатой координатной плоскости сначала определяют векторы по концам стрелок: PQ = (xQ − xP; yQ − yP) и RS = (xS − xR; yS − yR). Далее ищут одно число k, для которого RS = k·PQ. Проверка по одной координате без второй приводит к ложному ответу, если стрелки неколлинеарны. Нулевую стрелку рассматривают отдельно.

Разобранный базовый пример и обратная проверка

Пусть P = (−2; 1), Q = (1; 3), R = (0; −3), S = (6; 1). Тогда PQ = (3; 2), RS = (6; 4). Коэффициент k = 2. Обратная проверка: R + 2·PQ = (0; −3) + (6; 4) = (6; 1) = S. На сетке эта стрелка вдвое длиннее в координатных шагах по каждой оси и направлена так же. Ошибка «2 раза вправо, но только один раз вверх» нарушила бы равенство векторов.

Изменённое условие: что именно поменялось?

Если при тех же P и Q заменить S на (6; 2), второй вектор становится (6; 5). Отношение x-компонентов остаётся 2, но отношение y-компонентов уже 5/2. Единого коэффициента нет. Поэтому в ответе нужно показывать две проверки или ненулевой определитель. Для нулевого PQ допустимо любое k лишь когда RS также нулевой.

Образец координатной сетки для печати

Здесь показаны точки разобранного примера: P, Q, R и S. Рисунок выполнен символами, поэтому не требует загрузки изображения. Стрелки проведите от P к Q и от R к S по клеткам.

 y\x |  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5   6
   4 |   ·   ·   ·   │   ·   ·   ·   ·   ·   ·
   3 |   ·   ·   ·   │   Q   ·   ·   ·   ·   ·
   2 |   ·   ·   ·   │   ·   ·   ·   ·   ·   ·
   1 |   ·   P   ·   │   ·   ·   ·   ·   ·   S
   0 |   ─   ─   ─   ┼   ─   ─   ─   ─   ─   ─
  -1 |   ·   ·   ·   │   ·   ·   ·   ·   ·   ·
  -2 |   ·   ·   ·   │   ·   ·   ·   ·   ·   ·
  -3 |   ·   ·   ·   R   ·   ·   ·   ·   ·   ·

Тренажёр: нанеси точки и проверь стрелки

Ось x направьте вправо, ось y — вверх; одна клетка соответствует единице. Все точки заданы численно, поэтому задание можно распечатать и перенести на обычную клетчатую бумагу. В таблице P и Q задают первый направленный отрезок, R и S — второй.

1. Постройте две стрелки по строке 1 на координатной сетке и вычислите коэффициент k, если RS = k·PQ.
2. Сначала найдите координатные перемещения в строке 2; возможно ли растяжение или отражение стрелки PQ до RS одним коэффициентом?
3. Для строки 3 определите k по обеим координатам и подтвердите результат обратной подстановкой.
4. В строке 4 проверьте предположение об одном коэффициенте: одинаково ли масштабируются горизонтальная и вертикальная компоненты?
5. Постройте две стрелки по строке 5 на координатной сетке и вычислите коэффициент k, если RS = k·PQ.
6. Сначала найдите координатные перемещения в строке 6; возможно ли растяжение или отражение стрелки PQ до RS одним коэффициентом?
7. Для строки 7 определите k по обеим координатам и подтвердите результат обратной подстановкой.
8. В строке 8 проверьте предположение об одном коэффициенте: одинаково ли масштабируются горизонтальная и вертикальная компоненты?
9. Постройте две стрелки по строке 9 на координатной сетке и вычислите коэффициент k, если RS = k·PQ.
10. Сначала найдите координатные перемещения в строке 10; возможно ли растяжение или отражение стрелки PQ до RS одним коэффициентом?
11. Для строки 11 определите k по обеим координатам и подтвердите результат обратной подстановкой.
12. В строке 12 проверьте предположение об одном коэффициенте: одинаково ли масштабируются горизонтальная и вертикальная компоненты?
13. Постройте две стрелки по строке 13 на координатной сетке и вычислите коэффициент k, если RS = k·PQ.
14. Сначала найдите координатные перемещения в строке 14; возможно ли растяжение или отражение стрелки PQ до RS одним коэффициентом?
15. Для строки 15 определите k по обеим координатам и подтвердите результат обратной подстановкой.
16. В строке 16 проверьте предположение об одном коэффициенте: одинаково ли масштабируются горизонтальная и вертикальная компоненты?

Ключ с обратным ходом

Возврат к исходным координатам — важная часть решения: после нахождения k заново вычислите S = R + k(Q − P). Если получилась иная точка, значение k неверно независимо от сходства рисунка.

1. PQ = (2; 1), RS = (4; 2). k = 2. Проверка: 2·(2; 1) = (4; 2); R + k·PQ = (0; 3) = S.
2. PQ = (3; -1), RS = (-6; 2). k = -2. Проверка: -2·(3; -1) = (-6; 2); R + k·PQ = (-8; 2) = S.
3. PQ = (2; 4), RS = (1; 2). k = 1/2. Проверка: 1/2·(2; 4) = (1; 2); R + k·PQ = (2; 1) = S.
4. PQ = (-3; 2), RS = (3; -2). k = -1. Проверка: -1·(-3; 2) = (3; -2); R + k·PQ = (3; -1) = S.
5. PQ = (4; -2), RS = (2; -1). k = 1/2. Проверка: 1/2·(4; -2) = (2; -1); R + k·PQ = (0; -4) = S.
6. PQ = (-1; -3), RS = (-2; -5). det(PQ, RS) = -1 ≠ 0; векторы неколлинеарны, общего k нет. Смена одного конечного пункта уничтожила пропорциональность.
7. PQ = (2; 0), RS = (-6; 0). k = -3. Проверка: -3·(2; 0) = (-6; 0); R + k·PQ = (-2; -2) = S.
8. PQ = (0; 3), RS = (0; -6). k = -2. Проверка: -2·(0; 3) = (0; -6); R + k·PQ = (-3; -5) = S.
9. PQ = (-4; 2), RS = (-2; 1). k = 1/2. Проверка: 1/2·(-4; 2) = (-2; 1); R + k·PQ = (-4; 1) = S.
10. PQ = (3; 3), RS = (3; 4). det(PQ, RS) = 3 ≠ 0; векторы неколлинеарны, общего k нет. Смена одного конечного пункта уничтожила пропорциональность.
11. PQ = (0; 0) и RS = (0; 0). Любое действительное k удовлетворяет RS = k·PQ; единственного значения нет.
12. PQ = (0; 0), а RS = (1; 0) ≠ (0; 0). Никакого k нет: масштабирование нулевого вектора даёт нулевой.
13. PQ = (4; -2), RS = (-4; 2). k = -1. Проверка: -1·(4; -2) = (-4; 2); R + k·PQ = (-9; 4) = S.
14. PQ = (-2; 4), RS = (-4; 9). det(PQ, RS) = -2 ≠ 0; векторы неколлинеарны, общего k нет. Смена одного конечного пункта уничтожила пропорциональность.
15. PQ = (2; 2), RS = (-4; -4). k = -2. Проверка: -2·(2; 2) = (-4; -4); R + k·PQ = (-3; -3) = S.
16. PQ = (6; 0), RS = (3; 0). k = 1/2. Проверка: 1/2·(6; 0) = (3; 0); R + k·PQ = (2; -2) = S.

Объясните типичную ошибку

При горизонтальном перемещении PQ = (a; 0) нельзя делить на нулевую вертикальную координату. При вертикальном движении применяется другая ненулевая координата. Если обе нулевые, вопрос о единственности коэффициента заменяется проверкой нулевого или ненулевого второго вектора. Картинка служит контролем знака: отрицательный k разворачивает стрелку, положительный сохраняет её направление.

Как проверить себя

Восстановите векторы как разности конечной и начальной точки, проверьте обе координаты, затем восстановите конечную точку второго перемещения. Если коэффициент отрицателен, стрелки направлены противоположно.