Нахождение неизвестного коэффициента по условию линейной комбинации: карточки с ответами, 9 класс

Класс: 9. Тема: Неизвестный коэффициент в линейной комбинации векторов

Таблица линейных комбинаций: найти неизвестное, а не угадать

Пусть a и b — известные векторы, c — результат. Для записи c = k·a + b одновременно должны выполняться два равенства: cₓ = k aₓ + bₓ и cᵧ = k aᵧ + bᵧ. Коэффициент, полученный по одной координате, проверяется по другой. Если обе координаты a равны нулю, возможны либо бесконечно много k (когда c = b), либо ни одного.

Исходные данные для карточек

В таблицах задачи специально различаются: простая подстановка, перенос слагаемого, изменение знака перед b, противоречие и недоопределённость. Для проверки сначала запишите два координатных уравнения, затем решите систему относительно одного k.

16 карточек с проверкой

Номера строк соответствуют заданиям. Для каждой строки решите две координатные записи, а не одну: именно это позволит заметить намеренно неверные данные и отличить единственность от бесконечного числа решений.

1. Из строки 1 получите k и проверьте обе координаты.
2. В строке 2 определите, возможна ли заданная линейная комбинация; найдите k.
3. Для данных строки 3 объясните, единственен ли коэффициент и как это проверить.
4. В строке 4 проверьте совместность двух координатных уравнений и найдите k, если возможно.
5. Из строки 5 получите k и проверьте обе координаты.
6. В строке 6 определите, возможна ли заданная линейная комбинация; найдите k.
7. Для данных строки 7 объясните, единственен ли коэффициент и как это проверить.
8. В строке 8 проверьте совместность двух координатных уравнений и найдите k, если возможно.
9. Из строки 9 получите k и проверьте обе координаты.
10. В строке 10 определите, возможна ли заданная линейная комбинация; найдите k.
11. Для данных строки 11 объясните, единственен ли коэффициент и как это проверить.
12. В строке 12 проверьте совместность двух координатных уравнений и найдите k, если возможно.
13. Из строки 13 получите k и проверьте обе координаты.
14. В строке 14 определите, возможна ли заданная линейная комбинация; найдите k.
15. Для данных строки 15 объясните, единственен ли коэффициент и как это проверить.
16. В строке 16 проверьте совместность двух координатных уравнений и найдите k, если возможно.

Ответы: сопоставление обеих координат

Таблица уже задаёт все числовые данные, поэтому ниже для каждого номера приведена полноценная проверка или объяснение отказа.

1. k = 2. Две независимые проверки: 2·(2; 3) + (1)·(1; -2) = (5; 4); обе координаты совпадают.
2. k = -3. Две независимые проверки: -3·(3; -1) + (1)·(-2; 4) = (-11; 7); обе координаты совпадают.
3. k = -1. Две независимые проверки: -1·(-4; 2) + (1)·(5; 0) = (9; -2); обе координаты совпадают.
4. k = 4. Две независимые проверки: 4·(1; 5) + (1)·(0; -3) = (4; 17); обе координаты совпадают.
5. k = -2. Две независимые проверки: -2·(2; -3) + (-2)·(4; 1) = (-12; 4); обе координаты совпадают.
6. k = 3. Две независимые проверки: 3·(5; 2) + (-2)·(1; -1) = (13; 8); обе координаты совпадают.
7. k = -1. Две независимые проверки: -1·(-2; -4) + (1)·(2; 3) = (4; 7); обе координаты совпадают.
8. по x получаем k = 2, но проверка второй координаты не проходит: k·a + (1)b = (7; 13) ≠ (7; 14). Решений нет.
9. k = -2. Две независимые проверки: -2·(4; 1) + (1)·(0; 3) = (-8; 1); обе координаты совпадают.
10. k = 5. Две независимые проверки: 5·(1; -2) + (-2)·(2; 1) = (1; -12); обе координаты совпадают.
11. k = -1. Две независимые проверки: -1·(0; 3) + (1)·(2; -1) = (2; -4); обе координаты совпадают.
12. по x получаем k = 3, но проверка второй координаты не проходит: k·a + (1)b = (7; 4) ≠ (7; 5). Решений нет.
13. Любое k: k·(0; 0) не меняет сумму, а c = b. Коэффициент не определяется однозначно.
14. Решений нет: k·(0; 0) + b всегда равно b, однако первая координата c отличается от b.
15. k = -2. Две независимые проверки: -2·(-5; 2) + (1)·(4; -1) = (14; -5); обе координаты совпадают.
16. по x получаем k = 4, но проверка второй координаты не проходит: k·a + (-2)b = (16; -22) ≠ (16; -21). Решений нет.

Поиск противоречий в моделях

В некоторых строках первая координата даёт привлекательное значение k, но вторая его опровергает. Это сигнал о несовместной системе, а не повод поменять знак только у одного компонента. Если коэффициент входит одновременно в оба равенства, оба должны выполниться буквально. Нулевой множитель нельзя сокращать: это может уничтожить информацию о количестве решений.

Как проверить себя

При вычислении скаляра из c = k a + b сначала найдите c − b, затем проверьте пропорциональность этого вектора и a. При a = (0; 0) отдельно проверьте, равно ли c вектору b; делить на ноль нельзя.