Нахождение неизвестного коэффициента при заданной длине и одном компоненте — тематические карточки для 9 класса

Класс: 9. Тема: Определение неизвестного коэффициента из длины и координаты вектора

Учебный маршрут: длина вектора и неизвестный множитель

Вектор имеет вид v = (p; m·t), где p и m известны, m ≠ 0, а t — неизвестный коэффициент. Из длины L получаем p² + m²t² = L². Сначала находят (mt)², затем обе допустимые ветви знака. Если знак второго компонента не задан, нельзя самовольно оставлять лишь положительный корень. Условие L ≥ |p| обязательно для действительного решения.

Работа строится как маршрут: базовые случаи, проверка ошибочного решения, задачи с ограничением знака и итоговая самопроверка. Все длины неотрицательны; t может быть отрицательным.

Лёгкий старт: что можно узнать до вычисления?

Если L < |p|, вектор с таким первым компонентом невозможен. При L = |p| второй компонент равен нулю. Если L > |p|, обычно появляются два коэффициента противоположного знака. Определять знак по направлению стрелки можно только тогда, когда это прямо указано.

Развилка «ошибка или верно»

Ученик для v = (5; 2t), |v| = 13 получил только t = 6. Это половина решения: t = −6 тоже подходит, поскольку длина не зависит от знака второго компонента. Напротив, если по условию t > 0, отрицательная ветвь удаляется по смыслу, а не из-за округления. В заданиях с корнями, которые не являются целыми, допустима точная запись через √; десятичное приближение здесь не требуется.

Карточки: от простых к проверочным

Для каждой карточки запишите равенство квадратов, сделайте вывод о существовании решения, а затем выберите допустимые знаки. В пункте с невозможной длиной объясните отказ, не подставляя формально мнимое число.

1. Длина вектора v = (5; 2t) равна 13. Найдите t. Ограничений на знак t нет.
2. Длина вектора v = (8; 3t) равна 17. Найдите t. Известно t > 0.
3. Длина вектора v = (-7; 4t) равна 25. Найдите t. Известно t < 0.
4. Длина вектора v = (12; 5t) равна 37. Найдите t. Ограничений на знак t нет.
5. Длина вектора v = (9; 2t) равна 41. Найдите t. Известно t > 0.
6. Длина вектора v = (20; 7t) равна 29. Найдите t. Известно t < 0.
7. Длина вектора v = (6; 3t) равна 10. Найдите t. Ограничений на знак t нет.
8. Длина вектора v = (-4; 2t) равна 5. Найдите t. Известно t > 0.
9. Длина вектора v = (15; 1t) равна 17. Найдите t. Ограничений на знак t нет.
10. Длина вектора v = (24; 2t) равна 25. Найдите t. Известно t < 0.
11. Длина вектора v = (3; 4t) равна 5. Найдите t. Известно t > 0.
12. Длина вектора v = (35; 3t) равна 37. Найдите t. Ограничений на знак t нет.
13. Длина вектора v = (13; 2t) равна 13. Найдите t. Ограничений на знак t нет.
14. Длина вектора v = (10; 2t) равна 7. Найдите t. Ограничений на знак t нет.
15. Длина вектора v = (0; 5t) равна 15. Найдите t. Известно t < 0.
16. Длина вектора v = (9; 4t) равна 15. Найдите t. Ограничений на знак t нет.
17. Длина вектора v = (7; 2t) равна 25. Найдите t. Известно t > 0.
18. Длина вектора v = (11; 6t) равна 61. Найдите t. Ограничений на знак t нет.

Ключ учителя с обратной подстановкой

В каждом ответе используется p² + (mt)² = L². Проверка производится по длине, а не по знаку найденного параметра.

1. 4t² = 169 − 25 = 144. Следовательно, t = ±6. При подстановке квадрат второго компонента равен 144, а сумма квадратов — 169, то есть длина действительно 13.
2. 9t² = 289 − 64 = 225. Следовательно, t = 5. При подстановке квадрат второго компонента равен 225, а сумма квадратов — 289, то есть длина действительно 17.
3. 16t² = 625 − 49 = 576. Следовательно, t = −6. При подстановке квадрат второго компонента равен 576, а сумма квадратов — 625, то есть длина действительно 25.
4. 25t² = 1369 − 144 = 1225. Следовательно, t = ±7. При подстановке квадрат второго компонента равен 1225, а сумма квадратов — 1369, то есть длина действительно 37.
5. 4t² = 1681 − 81 = 1600. Следовательно, t = 20. При подстановке квадрат второго компонента равен 1600, а сумма квадратов — 1681, то есть длина действительно 41.
6. 49t² = 841 − 400 = 441. Следовательно, t = −3. При подстановке квадрат второго компонента равен 441, а сумма квадратов — 841, то есть длина действительно 29.
7. 9t² = 100 − 36 = 64. Следовательно, t = ±8/3. При подстановке квадрат второго компонента равен 64, а сумма квадратов — 100, то есть длина действительно 10.
8. 4t² = 25 − 16 = 9. Следовательно, t = 3/2. При подстановке квадрат второго компонента равен 9, а сумма квадратов — 25, то есть длина действительно 5.
9. 1t² = 289 − 225 = 64. Следовательно, t = ±8. При подстановке квадрат второго компонента равен 64, а сумма квадратов — 289, то есть длина действительно 17.
10. 4t² = 625 − 576 = 49. Следовательно, t = −7/2. При подстановке квадрат второго компонента равен 49, а сумма квадратов — 625, то есть длина действительно 25.
11. 16t² = 25 − 9 = 16. Следовательно, t = 1. При подстановке квадрат второго компонента равен 16, а сумма квадратов — 25, то есть длина действительно 5.
12. 9t² = 1369 − 1225 = 144. Следовательно, t = ±4. При подстановке квадрат второго компонента равен 144, а сумма квадратов — 1369, то есть длина действительно 37.
13. 4t² = 0, поэтому t = 0. Проверка: √(13² + 0) = 13.
14. Решений нет: L² − p² = -51 < 0. Длина вектора не может быть меньше модуля его первого компонента (10).
15. 25t² = 225 − 0 = 225. Следовательно, t = −3. При подстановке квадрат второго компонента равен 225, а сумма квадратов — 225, то есть длина действительно 15.
16. 16t² = 225 − 81 = 144. Следовательно, t = ±3. При подстановке квадрат второго компонента равен 144, а сумма квадратов — 225, то есть длина действительно 15.
17. 4t² = 625 − 49 = 576. Следовательно, t = 12. При подстановке квадрат второго компонента равен 576, а сумма квадратов — 625, то есть длина действительно 25.
18. 36t² = 3721 − 121 = 3600. Следовательно, t = ±10. При подстановке квадрат второго компонента равен 3600, а сумма квадратов — 3721, то есть длина действительно 61.

Итоговая самопроверка

Посчитайте отдельно задания без решений и задания с единственным решением. Затем вернитесь к каждому пункту, где появилось «±»: если в условии указан знак t, оставить две ветви нельзя. Если результат под корнем не является точным квадратом, запишите точное значение через радикал вместо необоснованного округления.

Как проверить себя

Проверяйте последовательность: допустимость L ≥ |p|; уравнение квадратов; оба знака; ограничение; обратная подстановка. Если t не определён однозначно, два ответа — не ошибка, а следствие недостатка сведений о направлении.