Нахождение образующей конуса по высоте и радиусу: пошаговые задания для 11 класса

Контроль образующей конуса: без путаницы с высотой

В прямом круговом конусе центр основания O, вершина P, точка M принадлежит окружности основания. Треугольник POM прямоугольный: PO=h — высота, OM=r — радиус, PM=l — образующая. По теореме Пифагора l=√(h²+r²). Для невырожденного конуса r>0 и h>0; отсюда l>r и l>h.

Базовая часть: 10 числовых заданий

Сначала возведите оба катета в квадрат, сложите полученные числа, извлеките положительный квадратный корень. Отрицательная «длина» невозможна. Пишите полное обозначение единицы.

1. Высота 4 см, радиус 3 см. Найдите образующую.
2. Высота 12 дм, радиус 5 дм.
3. Высота 15 см, радиус 8 см.
4. Высота 24 м, радиус 7 м.
5. Высота 40 см, радиус 9 см.
6. Высота 35 дм, радиус 12 дм.
7. Высота 8 см, радиус 6 см.
8. Высота 24 см, радиус 10 см.
9. Высота 20 м, радиус 15 м.
10. Высота 5 см, радиус 12 см.

Повышенный уровень: иррациональные числа, перевод единиц, проверка модели

Найдите образующую либо объясните, почему указанные данные не задают невырожденный конус. Для десятичных длин проверьте, что все они выражены в одних единицах.

11. Высота 4 см и радиус 4 см.
12. Высота 1,2 м и радиус 0,5 м.
13. Высота 2,4 м и радиус 0,7 м.
14. Высота 30 см и радиус 0,4 м. Ответ в метрах.
15. Высота 21 дм и радиус 20 дм.
16. Диаметр основания 16 см, высота 6 см. Найдите образующую.
17. Известно, что l=10 см, r=6 см; найдите высоту и проверьте найденную образующую.
18. Ученик получил для r=9 см и h=12 см значение l=√(12²−9²). Исправьте и найдите l.
19. Даны r=3 см, h=0. Можно ли говорить о невырожденном конусе?
20. Даны r=0, h=7 см. Можно ли рассматривать это как конус с круговым основанием ненулевой площади?

Ключ ответов к базовой части

Решения повышенного уровня

11. l=√(16+16)=4√2 см≈5,66 см.
12. l=√(1,44+0,25)=1,3 м.
13. l=√(5,76+0,49)=2,5 м.
14. 30 см=0,3 м; l=√(0,3²+0,4²)=0,5 м.
15. l=√(441+400)=29 дм.
16. r=8 см, l=√(8²+6²)=10 см.
17. h=√(10²−6²)=8 см; √(8²+6²)=10 см. Корень положителен.
18. l=√(12²+9²)=15 см. Минус используют для нахождения катета по гипотенузе, не для нахождения самой гипотенузы.
19. Нет, высота равна нулю: получится плоский вырожденный случай, а не настоящий прямой круговой конус. Формально l=3 см, но такая модель исключается.
20. Нет: радиус нулевой, основание вырождено. Формально √(0+49)=7 см, но объёмная модель не удовлетворяет r>0.

Самопроверка: что означает полученный корень

Положительный корень √(h²+r²) — длина, отрицательный не подходит по геометрическому смыслу. Для r>0 и h>0 выражение строго больше каждого катета. Например, если получено 9 см при h=12 см, ответ невозможен: гипотенуза не бывает короче катета.

Оценивание: 1 балл за построенную формулу, 1 за верные квадраты и сумму, 1 за правильный допустимый корень с единицей (максимум 60). В заданиях 19–20 полный балл ставится за обнаружение вырожденной модели. Короткая обратная проверка: l²−r² должно равняться h², а l²−h² — r².

Геометрическая проверка до извлечения корня

Образующая — гипотенуза прямоугольного осевого треугольника. Сначала покажите в черновике два катета h и r. Возведение в квадрат всегда даёт неотрицательные числа, поэтому сумма h²+r² неотрицательна. Корень берётся арифметический, то есть неотрицательный. Для настоящего конуса с положительными h и r образующая строго длиннее каждого катета. Если рисунок или ответ нарушает это свойство, вычисление сделано с ошибкой.

Когда точный ответ лучше десятичного

Рассмотрим конус с высотой 5 см и радиусом 5 см. Тогда l=√(25+25)=5√2 см. Это точный ответ. Приближённое значение 7,07 см получают, только если условие требует округления. При обратной проверке лучше подставлять 5√2: квадрат равен 50 точно. Преждевременное округление до 7,1 может создать небольшую разницу при возведении в квадрат.

Как найти потерянный размер

Если уже известны образующая l и радиус r, высоту можно восстановить по формуле h=√(l²−r²). Например, при l=17 см и r=15 см получаем h=√(289−225)=8 см. Если же известны l и h, радиус равен r=√(l²−h²). Оба способа требуют неотрицательного подкоренного выражения. Для невырожденного конуса оно должно быть строго положительным.

Обратите внимание на зависимость от размеров: если и высоту, и радиус увеличить в 2 раза, образующая также увеличится в 2 раза: √((2h)²+(2r)²)=2√(h²+r²). Это позволяет быстро проверять пропорциональные конструкции, например макеты конусов разных масштабов. Но удвоение только радиуса при прежней высоте не удваивает образующую.

Рекомендация по проверке: не заменяйте геометрический смысл механическим поиском корней уравнения. Для каждого пункта отметьте, какие две длины являются катетами, и записывайте результат в линейных единицах. Если в условиях встречаются метры и сантиметры, приводите их к одной единице перед возведением в квадрат. ОДЗ числовой формулы: h≥0, r≥0, но в задачах о невырожденном прямом конусе требуется строго h>0, r>0.

Проверка масштабного макета

Допустим, конус высотой 9 см и радиусом 12 см имеет образующую 15 см. Макет, построенный с масштабом 1:3, будет иметь высоту 3 см, радиус 4 см и образующую 5 см. Проверка: √(3²+4²)=5 см. Масштаб меняет все линейные размеры одинаково; если один размер уменьшен не в том отношении, новый макет уже не подобен исходному. Этот приём удобен для школьных задач с чертежом.