Нахождение одного неизвестного наблюдения при добавлении нового результата — математический практикум для 6 класса

После дополнительного результата изменились одновременно и сумма, и число наблюдений. Поэтому последнюю оценку нельзя находить простым вычитанием двух средних. На этом строятся пять типичных ошибок и десять самостоятельных заданий.

Исправляем неверное решение

Пример: четыре результата имеют среднее 18 баллов, а после пятого среднее стало 20. Старые баллы в сумме дают 4 × 18 = 72, новые пять — 5 × 20 = 100. Последнее наблюдение равно 100 − 72 = 28 баллам, а не 20.

Найдите и исправьте пять ошибок

1. Ошибка: «новое наблюдение равно новому среднему — 20». Было 4 результатов со средним 18; после добавления одного результата среднее стало 20. Найдите истинный новый результат и объясните, в чём ошибка.
2. Ошибка: «раз среднее выросло на 2, новый результат равен 2 × 6 = 12». Было 5 результатов со средним 32; после добавления одного результата среднее стало 34. Найдите истинный новый результат и объясните, в чём ошибка.
3. Ошибка: «среднее не изменилось, значит новый результат ноль». Было 3 результатов со средним 25; после добавления одного результата среднее стало 25. Найдите истинный новый результат и объясните, в чём ошибка.
4. Ошибка: «последнее наблюдение тоже 38». Было 6 результатов со средним 40; после добавления одного результата среднее стало 38. Найдите истинный новый результат и объясните, в чём ошибка.
5. Ошибка: «берём разницу сумм при четырёх наблюдениях: 15 × 4 − 12 × 4 = 12». Было 4 результатов со средним 12; после добавления одного результата среднее стало 15. Найдите истинный новый результат и объясните, в чём ошибка.

Закрепление: ещё десять ситуаций

В этих десяти задачах ответы выражены в условных баллах. Не делайте вывод о максимальной оценке: шкала баллов не задана. После вычисления нового результата восстановите по нему требуемое новое среднее.

6. В журнале было 5 результатов, среднее 24 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 26 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.
7. В журнале было 7 результатов, среднее 30 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 29 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.
8. В журнале было 6 результатов, среднее 35 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 37 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.
9. В журнале было 8 результатов, среднее 18 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 20 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.
10. В журнале было 3 результатов, среднее 42 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 40 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.
11. В журнале было 9 результатов, среднее 27 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 28 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.
12. В журнале было 4 результатов, среднее 33 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 31 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.
13. В журнале было 5 результатов, среднее 16 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 16 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.
14. В журнале было 7 результатов, среднее 45 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 44 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.
15. В журнале было 6 результатов, среднее 28 баллов. После добавления ещё одного результата среднее составило 30 баллов. Найдите новое наблюдение; вычислите старую и новую суммы и убедитесь, что значение неотрицательное.

Ключ и объяснение каждой ошибки

1. Старая сумма: 4 × 18 = 72. Новая сумма: 5 × 20 = 100. Добавленное число: 100 − 72 = 28. Новый результат — отдельное число, а не среднее пяти значений. Проверка: (72 + 28) : 5 = 20.
2. Старая сумма: 5 × 32 = 160. Новая сумма: 6 × 34 = 204. Добавленное число: 204 − 160 = 44. Нужно учитывать уже накопленную сумму пяти результатов. Проверка: (160 + 44) : 6 = 34.
3. Старая сумма: 3 × 25 = 75. Новая сумма: 4 × 25 = 100. Добавленное число: 100 − 75 = 25. Чтобы сохранить среднее, новый результат должен быть равен старому среднему. Проверка: (75 + 25) : 4 = 25.
4. Старая сумма: 6 × 40 = 240. Новая сумма: 7 × 38 = 266. Добавленное число: 266 − 240 = 26. Новый результат меньше прежнего среднего, раз общее среднее уменьшилось. Проверка: (240 + 26) : 7 = 38.
5. Старая сумма: 4 × 12 = 48. Новая сумма: 5 × 15 = 75. Добавленное число: 75 − 48 = 27. После добавления стало пять, а не четыре наблюдения. Проверка: (48 + 27) : 5 = 15.

Ответы к самостоятельным заданиям

6. До добавления 5 × 24 = 120 баллов. После добавления 6 × 26 = 156 баллов. Ответ: 156 − 120 = 36 баллов. Обратная проверка: (120 + 36) : 6 = 26.
7. До добавления 7 × 30 = 210 баллов. После добавления 8 × 29 = 232 баллов. Ответ: 232 − 210 = 22 баллов. Обратная проверка: (210 + 22) : 8 = 29.
8. До добавления 6 × 35 = 210 баллов. После добавления 7 × 37 = 259 баллов. Ответ: 259 − 210 = 49 баллов. Обратная проверка: (210 + 49) : 7 = 37.
9. До добавления 8 × 18 = 144 баллов. После добавления 9 × 20 = 180 баллов. Ответ: 180 − 144 = 36 баллов. Обратная проверка: (144 + 36) : 9 = 20.
10. До добавления 3 × 42 = 126 баллов. После добавления 4 × 40 = 160 баллов. Ответ: 160 − 126 = 34 баллов. Обратная проверка: (126 + 34) : 4 = 40.
11. До добавления 9 × 27 = 243 баллов. После добавления 10 × 28 = 280 баллов. Ответ: 280 − 243 = 37 баллов. Обратная проверка: (243 + 37) : 10 = 28.
12. До добавления 4 × 33 = 132 баллов. После добавления 5 × 31 = 155 баллов. Ответ: 155 − 132 = 23 баллов. Обратная проверка: (132 + 23) : 5 = 31.
13. До добавления 5 × 16 = 80 баллов. После добавления 6 × 16 = 96 баллов. Ответ: 96 − 80 = 16 баллов. Обратная проверка: (80 + 16) : 6 = 16.
14. До добавления 7 × 45 = 315 баллов. После добавления 8 × 44 = 352 баллов. Ответ: 352 − 315 = 37 баллов. Обратная проверка: (315 + 37) : 8 = 44.
15. До добавления 6 × 28 = 168 баллов. После добавления 7 × 30 = 210 баллов. Ответ: 210 − 168 = 42 баллов. Обратная проверка: (168 + 42) : 7 = 30.

Проверьте сами себя: перед вставкой нового результата количество наблюдений n, после — n + 1; среднее новой выборки считается по всем n + 1 результатам. Если вместо этого разделить новую сумму на старое количество, получится неправильное «среднее».