Нахождение одного неизвестного наблюдения с округлённым средним значением: задачи с решениями для 6 класса

В дневнике занятий округлили среднюю длительность за несколько дней. Одно наблюдение потеряно. Можно ли восстановить его точно? Не всегда: округлённое среднее не сообщает точную сумму. Здесь потребуется исследовать множество всех допустимых ответов.

Наблюдение: почему единственный ответ может отсутствовать

Пусть за 5 дней известны 30, 35, 42 и 40 минут, а среднее после округления до целых равно 40 минутам. Сумма известных дней — 147. Если неизвестный день x = 51, среднее (147 + 51) : 5 = 39,6 и округляется до 40; если x = 55, среднее 40,4 и тоже округляется до 40. Значит, нельзя сразу писать x = 40 × 5 − 147 = 53 как единственный ответ: это только один из возможных.

Проверка правила на контрпримере

Из пяти известных чисел не следует ровно одна сумма: округление прячет небольшую разницу. Если начать решать задачу равенством вместо двух неравенств, можно потерять правильные значения. Для n дней перепишите условие как n × нижняя граница ≤ известная сумма + x < n × верхняя граница.

Исследовательские задания

1. За 4 дней записано 3 значений (30, 34, 40 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 35 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
2. За 5 дней записано 4 значений (40, 45, 36, 47 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 42 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
3. За 6 дней записано 5 значений (25, 35, 28, 32, 31 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 30 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
4. За 3 дней записано 2 значений (22, 29 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 26 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
5. За 7 дней записано 6 значений (35, 39, 42, 31, 44, 36 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 38 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
6. За 4 дней записано 3 значений (55, 45, 40 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 50 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
7. За 5 дней записано 4 значений (18, 25, 32, 22 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 25 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.

Продолжение — более длинные ряды и точность до десятых

8. За 8 дней записано 7 значений (40, 50, 36, 48, 42, 45, 47 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 44 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
9. За 6 дней записано 5 значений (35, 43, 40, 28, 32 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 37 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
10. За 3 дней записано 2 значений (54, 41 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 48 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
11. За 5 дней записано 4 значений (30, 35, 28, 42 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 33 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
12. За 4 дней записано 3 значений (15, 30, 38 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до целых минут, равно 29 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
13. За 5 дней записано 4 значений (38, 39, 42, 41 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до десятых минуты, равно 40,2 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.
14. За 4 дней записано 3 значений (30, 32, 35 мин) и один неизвестный день x. Среднее, округлённое до десятых минуты, равно 32,5 мин. Найдите все целые возможные x от 0 до 120 мин; проверьте крайние значения.

Разбор диапазонов и граничных случаев

1. 34,5 ≤ (104 + x) : 4 < 35,5. После умножения на 4 и вычитания 104 получаем 34 ≤ x < 38. Ответ: 34, 35, …, 37 мин (4 допустимых значений). Проверка границ: при x = 34 среднее 34,5, при x = 37 среднее 35,25; оба значения округляются до 35.
2. 41,5 ≤ (168 + x) : 5 < 42,5. После умножения на 5 и вычитания 168 получаем 39,5 ≤ x < 44,5. Ответ: 40, 41, …, 44 мин (5 допустимых значений). Проверка границ: при x = 40 среднее 41,6, при x = 44 среднее 42,4; оба значения округляются до 42.
3. 29,5 ≤ (151 + x) : 6 < 30,5. После умножения на 6 и вычитания 151 получаем 26 ≤ x < 32. Ответ: 26, 27, …, 31 мин (6 допустимых значений). Проверка границ: при x = 26 среднее 29,5, при x = 31 среднее 91/3; оба значения округляются до 30.
4. 25,5 ≤ (51 + x) : 3 < 26,5. После умножения на 3 и вычитания 51 получаем 25,5 ≤ x < 28,5. Ответ: 26, 27, …, 28 мин (3 допустимых значений). Проверка границ: при x = 26 среднее 77/3, при x = 28 среднее 79/3; оба значения округляются до 26.
5. 37,5 ≤ (227 + x) : 7 < 38,5. После умножения на 7 и вычитания 227 получаем 35,5 ≤ x < 42,5. Ответ: 36, 37, …, 42 мин (7 допустимых значений). Проверка границ: при x = 36 среднее 263/7, при x = 42 среднее 269/7; оба значения округляются до 38.
6. 49,5 ≤ (140 + x) : 4 < 50,5. После умножения на 4 и вычитания 140 получаем 58 ≤ x < 62. Ответ: 58, 59, …, 61 мин (4 допустимых значений). Проверка границ: при x = 58 среднее 49,5, при x = 61 среднее 50,25; оба значения округляются до 50.
7. 24,5 ≤ (97 + x) : 5 < 25,5. После умножения на 5 и вычитания 97 получаем 25,5 ≤ x < 30,5. Ответ: 26, 27, …, 30 мин (5 допустимых значений). Проверка границ: при x = 26 среднее 24,6, при x = 30 среднее 25,4; оба значения округляются до 25.
8. 43,5 ≤ (308 + x) : 8 < 44,5. После умножения на 8 и вычитания 308 получаем 40 ≤ x < 48. Ответ: 40, 41, …, 47 мин (8 допустимых значений). Проверка границ: при x = 40 среднее 43,5, при x = 47 среднее 355/8; оба значения округляются до 44.
9. 36,5 ≤ (178 + x) : 6 < 37,5. После умножения на 6 и вычитания 178 получаем 41 ≤ x < 47. Ответ: 41, 42, …, 46 мин (6 допустимых значений). Проверка границ: при x = 41 среднее 36,5, при x = 46 среднее 112/3; оба значения округляются до 37.
10. 47,5 ≤ (95 + x) : 3 < 48,5. После умножения на 3 и вычитания 95 получаем 47,5 ≤ x < 50,5. Ответ: 48, 49, …, 50 мин (3 допустимых значений). Проверка границ: при x = 48 среднее 143/3, при x = 50 среднее 145/3; оба значения округляются до 48.
11. 32,5 ≤ (135 + x) : 5 < 33,5. После умножения на 5 и вычитания 135 получаем 27,5 ≤ x < 32,5. Ответ: 28, 29, …, 32 мин (5 допустимых значений). Проверка границ: при x = 28 среднее 32,6, при x = 32 среднее 33,4; оба значения округляются до 33.
12. 28,5 ≤ (83 + x) : 4 < 29,5. После умножения на 4 и вычитания 83 получаем 31 ≤ x < 35. Ответ: 31, 32, …, 34 мин (4 допустимых значений). Проверка границ: при x = 31 среднее 28,5, при x = 34 среднее 29,25; оба значения округляются до 29.
13. 40,15 ≤ (160 + x) : 5 < 40,25. После умножения на 5 и вычитания 160 получаем 40,75 ≤ x < 41,25. Ответ: 41 мин (1 допустимых значений). Проверка границ: при x = 41 среднее 40,2, при x = 41 среднее 40,2; оба значения округляются до 40,2.
14. 32,45 ≤ (97 + x) : 4 < 32,55. После умножения на 4 и вычитания 97 получаем 32,8 ≤ x < 33,2. Ответ: 33 мин (1 допустимых значений). Проверка границ: при x = 33 среднее 32,5, при x = 33 среднее 32,5; оба значения округляются до 32,5.

Как проверить ответ

Если найдено несколько целых значений x, подставьте сначала самое маленькое и самое большое, затем проверьте числа на единицу ниже и выше допустимого интервала. Поскольку среднее линейно растёт вместе с x, между двумя допустимыми крайними целыми значениями также подходят все целые значения.

При округлении до десятых промежуток в десять раз уже, чем при округлении до целых. Поэтому в последних упражнениях ответ может стать единственным, хотя ранее было несколько подходящих длительностей. Не пишите «среднее точно равно 40,2», если в условии сказано только «округлили до 40,2».