Нахождение ошибки при исключении неизвестного в задаче на смесь двух сортов — диагностика ошибок, 7 класс

7 класс · Системы уравнений · MATH-1345. Диагностика ошибок в задачах о смеси двух сортов по общей массе и цене. Главный навык — правильно исключать переменную, не путая массу первого и второго сорта.

Неверная запись, с которой начинается работа

Для смеси 3 кг крупы по 180 тг за кг и 5 кг по 240 тг за кг общая масса 8 кг, стоимость 1740 тг. Обозначим массы x и y. Система: x+y=8, 180x+240y=1740. Ученик умножил первое равенство на 180, вычел из второго, получил 60y=300 — но написал «значит x=5». Это подмена переменной: найдено y=5, а x=3. Проверка: 180·3+240·5=1740.

При вычитании сначала решите, какое неизвестное действительно сократилось. Условия x≥0 и y≥0 обязательны: отрицательная масса смеси не имеет смысла. Если стоимость задана в тенге, а масса в килограммах, оба уравнения должны сохранять единицы измерения.

Пять ошибок в рассуждении

1. Сократили x, но подписали полученную массу буквой x. Прочитайте, какой член исчез после вычитания.
2. Умножили только один член в x+y=m; умножение уравнения касается и x, и y, и правой части.
3. Заменили разность двух уравнений суммой без противоположных коэффициентов — неизвестное не исчезло.
4. Переставили местами массы двух сортов, хотя цены различаются; контроль стоимости обнаруживает ошибку.
5. Получили отрицательную массу и не заметили невозможность такого ответа в жизненной модели.

Серия А — найди первую ошибку

1. Смешали два сорта по 110 и 170 тг/кг. Общая масса 5 кг, стоимость 730 тг. Ученик после исключения x объявили найденную величину массой первого сорта. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
2. Смешали два сорта по 140 и 230 тг/кг. Общая масса 13 кг, стоимость 2540 тг. Ученик в равенстве после вычитания поменяли знак правой части. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
3. Смешали два сорта по 200 и 260 тг/кг. Общая масса 12 кг, стоимость 2640 тг. Ученик вместо умножения всего x+y на цену первого сорта умножили только x. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
4. Смешали два сорта по 90 и 150 тг/кг. Общая масса 12 кг, стоимость 1620 тг. Ученик вычли исходное x+y без согласования коэффициентов. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
5. Смешали два сорта по 210 и 310 тг/кг. Общая масса 11 кг, стоимость 2810 тг. Ученик вычислили y, но в итоговой паре поменяли x и y местами. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
6. Смешали два сорта по 160 и 280 тг/кг. Общая масса 19 кг, стоимость 4240 тг. Ученик сложили уравнения вместо вычитания и заявили, что x исчез. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
7. Смешали два сорта по 130 и 190 тг/кг. Общая масса 10 кг, стоимость 1660 тг. Ученик после исключения x объявили найденную величину массой первого сорта. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
8. Смешали два сорта по 240 и 320 тг/кг. Общая масса 18 кг, стоимость 5200 тг. Ученик в равенстве после вычитания поменяли знак правой части. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.

Серия Б — восстанови правильный расчёт

Здесь цена второго сорта иногда отличается от первой лишь на небольшую величину. Не сокращайте её до нуля и не путайте результат вычитания с общей стоимостью.

9. Смешали два сорта по 175 и 225 тг/кг. Общая масса 9 кг, стоимость 1925 тг. Ученик вместо умножения всего x+y на цену первого сорта умножили только x. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
10. Смешали два сорта по 300 и 420 тг/кг. Общая масса 8 кг, стоимость 2760 тг. Ученик вычли исходное x+y без согласования коэффициентов. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
11. Смешали два сорта по 125 и 205 тг/кг. Общая масса 18 кг, стоимость 3050 тг. Ученик вычислили y, но в итоговой паре поменяли x и y местами. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
12. Смешали два сорта по 150 и 250 тг/кг. Общая масса 7 кг, стоимость 1450 тг. Ученик сложили уравнения вместо вычитания и заявили, что x исчез. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
13. Смешали два сорта по 180 и 270 тг/кг. Общая масса 15 кг, стоимость 3510 тг. Ученик после исключения x объявили найденную величину массой первого сорта. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
14. Смешали два сорта по 220 и 340 тг/кг. Общая масса 14 кг, стоимость 3680 тг. Ученик в равенстве после вычитания поменяли знак правой части. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
15. Смешали два сорта по 260 и 390 тг/кг. Общая масса 14 кг, стоимость 4940 тг. Ученик вместо умножения всего x+y на цену первого сорта умножили только x. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.
16. Смешали два сорта по 95 и 155 тг/кг. Общая масса 13 кг, стоимость 1595 тг. Ученик вычли исходное x+y без согласования коэффициентов. Исправьте метод исключения; найдите обе массы и проверьте стоимость.

Ответы и полная обратная проверка

1. Первый сорт 2 кг, второй 3 кг. Вычитаем 110·(x+y=5) из уравнения стоимости: (170−110)y=730−110·5=180; y=3, x=5−3=2. Проверка: 110·2+170·3=730 тг.
2. Первый сорт 5 кг, второй 8 кг. Вычитаем 140·(x+y=13) из уравнения стоимости: (230−140)y=2540−140·13=720; y=8, x=13−8=5. Проверка: 140·5+230·8=2540 тг.
3. Первый сорт 8 кг, второй 4 кг. Вычитаем 200·(x+y=12) из уравнения стоимости: (260−200)y=2640−200·12=240; y=4, x=12−4=8. Проверка: 200·8+260·4=2640 тг.
4. Первый сорт 3 кг, второй 9 кг. Вычитаем 90·(x+y=12) из уравнения стоимости: (150−90)y=1620−90·12=540; y=9, x=12−9=3. Проверка: 90·3+150·9=1620 тг.
5. Первый сорт 6 кг, второй 5 кг. Вычитаем 210·(x+y=11) из уравнения стоимости: (310−210)y=2810−210·11=500; y=5, x=11−5=6. Проверка: 210·6+310·5=2810 тг.
6. Первый сорт 9 кг, второй 10 кг. Вычитаем 160·(x+y=19) из уравнения стоимости: (280−160)y=4240−160·19=1200; y=10, x=19−10=9. Проверка: 160·9+280·10=4240 тг.
7. Первый сорт 4 кг, второй 6 кг. Вычитаем 130·(x+y=10) из уравнения стоимости: (190−130)y=1660−130·10=360; y=6, x=10−6=4. Проверка: 130·4+190·6=1660 тг.
8. Первый сорт 7 кг, второй 11 кг. Вычитаем 240·(x+y=18) из уравнения стоимости: (320−240)y=5200−240·18=880; y=11, x=18−11=7. Проверка: 240·7+320·11=5200 тг.
9. Первый сорт 2 кг, второй 7 кг. Вычитаем 175·(x+y=9) из уравнения стоимости: (225−175)y=1925−175·9=350; y=7, x=9−7=2. Проверка: 175·2+225·7=1925 тг.
10. Первый сорт 5 кг, второй 3 кг. Вычитаем 300·(x+y=8) из уравнения стоимости: (420−300)y=2760−300·8=360; y=3, x=8−3=5. Проверка: 300·5+420·3=2760 тг.
11. Первый сорт 8 кг, второй 10 кг. Вычитаем 125·(x+y=18) из уравнения стоимости: (205−125)y=3050−125·18=800; y=10, x=18−10=8. Проверка: 125·8+205·10=3050 тг.
12. Первый сорт 3 кг, второй 4 кг. Вычитаем 150·(x+y=7) из уравнения стоимости: (250−150)y=1450−150·7=400; y=4, x=7−4=3. Проверка: 150·3+250·4=1450 тг.
13. Первый сорт 6 кг, второй 9 кг. Вычитаем 180·(x+y=15) из уравнения стоимости: (270−180)y=3510−180·15=810; y=9, x=15−9=6. Проверка: 180·6+270·9=3510 тг.
14. Первый сорт 9 кг, второй 5 кг. Вычитаем 220·(x+y=14) из уравнения стоимости: (340−220)y=3680−220·14=600; y=5, x=14−5=9. Проверка: 220·9+340·5=3680 тг.
15. Первый сорт 4 кг, второй 10 кг. Вычитаем 260·(x+y=14) из уравнения стоимости: (390−260)y=4940−260·14=1300; y=10, x=14−10=4. Проверка: 260·4+390·10=4940 тг.
16. Первый сорт 7 кг, второй 6 кг. Вычитаем 95·(x+y=13) из уравнения стоимости: (155−95)y=1595−95·13=360; y=6, x=13−6=7. Проверка: 95·7+155·6=1595 тг.

Для всех шестнадцати задач ответ единственный: цены двух сортов различны и общая масса известна. Значит после исключения x коэффициент при y равен ненулевой разности цен. Важно не переносить автоматически этот вывод на задачи с равными ценами: в таком случае уравнение стоимости может оказаться зависимым от уравнения массы, и однозначно определить состав смеси не получится.

При проверке работы ученика сначала смотрите на модель, а затем на арифметику. Верно полученная масса одного сорта ещё не доказывает, что ученик решил задачу правильно: обе найденные массы должны суммироваться в общую массу, а их стоимости — в заданную сумму. Это две независимые проверки, каждая помогает обнаружить свой тип ошибки.