Нахождение площади по разбиению для фигуры с внутренним вырезом: тренажёр для 5 класса

5 класс · Геометрия на клетчатой сетке. Углублённый практикум: площадь рамки с прямоугольным внутренним отверстием

Как вычислить площадь фигуры с внутренним вырезом

Если из середины прямоугольной пластины вырезано небольшое прямоугольное отверстие, оставшаяся фигура напоминает рамку. Её площадь — это площадь внешнего прямоугольника без площади пустого окна. Считать окно частью фигуры нельзя: материал там отсутствует. В отличие от выреза в углу, внутреннее отверстие со всех сторон окружено оставшейся частью фигуры.

Пусть внешний прямоугольник занимает 12 × 9 клеток, а окно — 4 × 3 клетки. Тогда полная площадь равна 108 клеткам, вырез — 12 клеткам и остаётся 96 клеток. Если клетка имеет ширину 2 см и высоту 3 см, площадь клетки равна 6 см², а площадь рамки — 96 × 6 = 576 см². Все числовые размеры ниже заданы так, чтобы окно можно было разместить внутри с зазором по каждой стороне.

Уровень 1. Рассчитайте разность площадей

Задания 1–8: шаг сетки принят равным единице. Не смешивайте длины сторон и число клеток. Сначала найдите число клеток полного прямоугольника, затем число клеток отверстия. Запишите выражение с вычитанием и единицу площади.

1. Лист 10 × 9 клеток; внутри полностью вырезано прямоугольное окно 3 × 2 клеток. Найдите площадь оставшейся фигуры в клетках и объясните, почему окно нельзя прибавлять.
2. Лист 17 × 14 клеток; внутри полностью вырезано прямоугольное окно 6 × 6 клеток. Найдите площадь оставшейся фигуры в клетках и объясните, почему окно нельзя прибавлять.
3. Лист 24 × 19 клеток; внутри полностью вырезано прямоугольное окно 9 × 10 клеток. Найдите площадь оставшейся фигуры в клетках и объясните, почему окно нельзя прибавлять.
4. Лист 13 × 24 клеток; внутри полностью вырезано прямоугольное окно 4 × 14 клеток. Найдите площадь оставшейся фигуры в клетках и объясните, почему окно нельзя прибавлять.
5. Лист 20 × 13 клеток; внутри полностью вырезано прямоугольное окно 15 × 9 клеток. Найдите площадь оставшейся фигуры в клетках и объясните, почему окно нельзя прибавлять.
6. Лист 27 × 18 клеток; внутри полностью вырезано прямоугольное окно 18 × 8 клеток. Найдите площадь оставшейся фигуры в клетках и объясните, почему окно нельзя прибавлять.
7. Лист 16 × 23 клеток; внутри полностью вырезано прямоугольное окно 10 × 7 клеток. Найдите площадь оставшейся фигуры в клетках и объясните, почему окно нельзя прибавлять.
8. Лист 23 × 12 клеток; внутри полностью вырезано прямоугольное окно 6 × 6 клеток. Найдите площадь оставшейся фигуры в клетках и объясните, почему окно нельзя прибавлять.

Уровень 2. Разные шаги сетки

Задания 9–16: на сетке клетки могут быть вытянутыми. Площадь одной клетки вычисляйте как произведение двух её шагов. Допускаются два равносильных решения: сначала вычесть число клеток, затем умножить на площадь клетки; либо найти площади обоих прямоугольников в квадратных сантиметрах и вычесть. Полезно проверить, что оба способа дали одно значение.

9. На прямоугольной сетке ширина клетки 4 см, высота 3 см. Внешняя рамка 12 × 17 клеток, внутренний вырез 6 × 8 клеток. Вычислите видимую площадь в см² двумя способами.
10. На прямоугольной сетке ширина клетки 2 см, высота 4 см. Внешняя рамка 19 × 22 клеток, внутренний вырез 16 × 2 клеток. Вычислите видимую площадь в см² двумя способами.
11. На прямоугольной сетке ширина клетки 3 см, высота 5 см. Внешняя рамка 26 × 11 клеток, внутренний вырез 12 × 7 клеток. Вычислите видимую площадь в см² двумя способами.
12. На прямоугольной сетке ширина клетки 4 см, высота 6 см. Внешняя рамка 15 × 16 клеток, внутренний вырез 6 × 10 клеток. Вычислите видимую площадь в см² двумя способами.
13. На прямоугольной сетке ширина клетки 2 см, высота 3 см. Внешняя рамка 22 × 21 клеток, внутренний вырез 5 × 16 клеток. Вычислите видимую площадь в см² двумя способами.
14. На прямоугольной сетке ширина клетки 3 см, высота 4 см. Внешняя рамка 11 × 10 клеток, внутренний вырез 6 × 6 клеток. Вычислите видимую площадь в см² двумя способами.
15. На прямоугольной сетке ширина клетки 4 см, высота 5 см. Внешняя рамка 18 × 15 клеток, внутренний вырез 6 × 3 клеток. Вычислите видимую площадь в см² двумя способами.
16. На прямоугольной сетке ширина клетки 2 см, высота 6 см. Внешняя рамка 25 × 20 клеток, внутренний вырез 8 × 14 клеток. Вычислите видимую площадь в см² двумя способами.

Уровень 3. Обратные задачи

Задания 17–24: известна площадь оставшейся части, но отсутствует одна из сторон. Верните площадь выреза, получите площадь внешнего прямоугольника и разделите на известную сторону; либо, наоборот, из общей площади вычтите известный остаток и найдите неизвестную сторону отверстия. Полученные числа должны быть целыми и позволять разместить отверстие внутри.

17. Внешний прямоугольник имеет высоту 9 клеток, вырез 6 × 6 клеток. Площадь остатка 90 клеток. Восстановите ширину внешнего прямоугольника.
18. После удаления внутреннего отверстия 6 × 10 клеток осталось 234 клеток. Высота внешнего прямоугольника 14 клеток. Найдите его ширину и проверьте, что отверстие не касается внешней границы.
19. Внешний прямоугольник 10 × 19 клеток. Внутри окно шириной 7 клеток. Площадь оставшейся фигуры 92 клеток. Сколько клеток составляет высота окна?
20. Внешний прямоугольник имеет высоту 24 клеток, вырез 12 × 18 клеток. Площадь остатка 192 клеток. Восстановите ширину внешнего прямоугольника.
21. После удаления внутреннего отверстия 6 × 10 клеток осталось 252 клеток. Высота внешнего прямоугольника 13 клеток. Найдите его ширину и проверьте, что отверстие не касается внешней границы.
22. Внешний прямоугольник 13 × 18 клеток. Внутри окно шириной 10 клеток. Площадь оставшейся фигуры 214 клеток. Сколько клеток составляет высота окна?
23. Внешний прямоугольник имеет высоту 23 клеток, вырез 9 × 14 клеток. Площадь остатка 334 клеток. Восстановите ширину внешнего прямоугольника.
24. После удаления внутреннего отверстия 6 × 6 клеток осталось 288 клеток. Высота внешнего прямоугольника 12 клеток. Найдите его ширину и проверьте, что отверстие не касается внешней границы.

Подробные решения двух сложных типов

Если наружный прямоугольник 20 × 14 клеток, ширина внутреннего окна равна 6 клеткам, а остаток занимает 244 клетки, то окно занимает 280 − 244 = 36 клеток. Его высота равна 36 : 6 = 6 клеток. Проверка: наружный размер больше внутреннего по обеим осям, значит отверстие можно поместить без касания границ.

Если у рамки высота 15 клеток, отверстие 4 × 5 клеток, а оставшаяся часть занимает 235 клеток, то полная фигура до выреза занимала 235 + 20 = 255 клеток. Ширина внешнего прямоугольника равна 255 : 15 = 17 клеток. При проверке вернёмся к исходной формуле: 17 × 15 − 4 × 5 = 235. Это защитит от ошибки «вычесть отверстие дважды».

Ключ ответов: все 24 задания

1. 10 × 9 − 3 × 2 = 84 клеток.
2. 17 × 14 − 6 × 6 = 202 клеток.
3. 24 × 19 − 9 × 10 = 366 клеток.
4. 13 × 24 − 4 × 14 = 256 клеток.
5. 20 × 13 − 15 × 9 = 125 клеток.
6. 27 × 18 − 18 × 8 = 342 клеток.
7. 16 × 23 − 10 × 7 = 298 клеток.
8. 23 × 12 − 6 × 6 = 240 клеток.
9. (12 × 17 − 6 × 8) × (4 × 3) = 1872 см². По частям: полная площадь 2448 см², окно 576 см².
10. (19 × 22 − 16 × 2) × (2 × 4) = 3088 см². По частям: полная площадь 3344 см², окно 256 см².
11. (26 × 11 − 12 × 7) × (3 × 5) = 3030 см². По частям: полная площадь 4290 см², окно 1260 см².
12. (15 × 16 − 6 × 10) × (4 × 6) = 4320 см². По частям: полная площадь 5760 см², окно 1440 см².
13. (22 × 21 − 5 × 16) × (2 × 3) = 2292 см². По частям: полная площадь 2772 см², окно 480 см².
14. (11 × 10 − 6 × 6) × (3 × 4) = 888 см². По частям: полная площадь 1320 см², окно 432 см².
15. (18 × 15 − 6 × 3) × (4 × 5) = 5040 см². По частям: полная площадь 5400 см², окно 360 см².
16. (25 × 20 − 8 × 14) × (2 × 6) = 4656 см². По частям: полная площадь 6000 см², окно 1344 см².
17. (90 + 6 × 6) : 9 = 14 клеток.
18. (234 + 6 × 10) : 14 = 21 клеток; 6 < 21 и 10 < 14, запас с обеих сторон возможен.
19. (10 × 19 − 92) : 7 = 14 клеток; вырез помещается внутри.
20. (192 + 12 × 18) : 24 = 17 клеток.
21. (252 + 6 × 10) : 13 = 24 клеток; 6 < 24 и 10 < 13, запас с обеих сторон возможен.
22. (13 × 18 − 214) : 10 = 2 клеток; вырез помещается внутри.
23. (334 + 9 × 14) : 23 = 20 клеток.
24. (288 + 6 × 6) : 12 = 27 клеток; 6 < 27 и 6 < 12, запас с обеих сторон возможен.

Обратная задача не требует угадывать сторону на глаз: каждое число восстанавливается из известной разности площадей. При делении проверьте, что делитель обозначает длину подходящей стороны, а не площадь клетки. Например, если окно занимает 36 клеток при ширине 6, высота равна 6, но запись 36 : 6 требует пояснения, что полученное число — именно число клеток по вертикали. Нельзя записывать результат в см², если спрашивают длину.

Как проверить ответ без чертежа

После вычитания площадь рамки должна оставаться положительной и быть строго меньше площади внешнего прямоугольника. Если известна реальная ширина или высота клетки, ответ в клетках ещё не равен ответу в см². Не путайте отверстие с отдельным добавленным прямоугольником: при вырезании применяется именно вычитание. Для закрепления придумайте своё окно и убедитесь, что способ «внешнее минус внутреннее» совпадает с разбиением рамки на четыре непересекающихся полосы.